أولمبياد منتديات الجلفة: الموضوع 1

fatiha2012 · 2012-06-21, 11:45

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مبتدئ الرياضيات

هذه محاولتي للسؤال الأول (في نصف ساعة نصف ساعة

)

$f(1)=z : z+f(2)=4f(2)\rightarrow f(2)=\frac{z}{3}\\ \\ z+\frac{z}{3}+f(3)=9f(3)\rightarrow f(3)=\frac{z}{6}\\ \\ z+\frac{z}{3}+\frac{z}{6}+f(4)=16f(4)\rightarrow f(4)=\frac{z}{10}\\$

سنلاحظ أن :

$f(n)=\frac{2z}{n(n+1)}$

و هذا بسيط لأن المقامات هي حدود متتالية مجموع الأعداد الطبيعية

ثم نثبتها بالتراجع : بديهيا انها صحيحة من اجل 1 و 2 يبقى الاثبات من أجل n+1

$(n+1)^2f(n+1)=n^2f(n)+f(n+1)\\ \\ n(n+2)f(n+1)=n^2f(n)\rightarrow f(n+1)=\frac{nf(n)}{n+2}\\ \\ \\ {\color{red}f(n)=\frac{2z}{n(n+1)}}\\ \\ \\ f(n+1)=\frac{2z}{(n+1)(n+2)}$

و هذا هو المطلوب

نطبق العلاقة :

$f(2012)=\frac{2z}{2012\times2013}=\frac{2}{2013}$

أخي عذرًا لكن لما تسمي نفسكـ مبتدئ الرياضيات فأنت بهذه الطريقة محترف (راك تبعد في العين )
الله يباركـ ربي يكملك