إلى كل أساتذة الرياضيات

هـارون · 2012-05-12, 12:48

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة KAMEL AT

السلام عليكم أخـــــي
لقد حللت الأول:

أما بالنسبة للتمارين الأخرى فلا أظن أنني أستطيع
فانا في السنة أولى ثانوي...
و إن كنت قد وجدت الحل كما ذكرت في المشاركة الأخرية لك فأرجو أن تفيدنـــا...

أخي أنت وصلت لنتيجة أخرى أنا طلبت : $\frac{\pi^2}{16}$ و أنت وضعت $\frac{\pi^2}{4}$

أما حل هذا التمرين هو :
$\begin{gathered} \frac{\pi }{2} \geqslant \cos (x) + x \hfill \\ \hfill \\ From:Am - Gm: \hfill \\ \hfill \\ \frac{\pi }{2} \geqslant \cos (x) + x \geqslant 2\sqrt {x \cdot \cos (x)} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{{\pi ^2}}}{4} \geqslant 4x \cdot \cos (x) \Leftrightarrow \boxed{\boxed{\frac{{{\pi ^2}}}{{16}} \geqslant x \cdot \cos (x)}} \hfill \\ \end{gathered}$

و AM-GM تعني متباينة الوسط الحسابي-الهندسي يعني أن الوسط الحسابي أكبر دائما من الوسط الهندسي.

و نعلم جيدا أن $x>sin(x)$

أما الثاني : نقسم المتراجحة إلى ثلاثة أقسام :
$a^2+b^2 \geqslant 2ab \\ 3a^2+b^2+2ac \geqslant 2a^2+2ab+2ac\\ 3a^2+b^2+2ac \geqslant2a(a+b+c)\\ \\ {\color{red}\frac{2a}{3a^2+b^2+2ac}}\geqslant {\color{blue}\frac{1}{a+b+c}}$

نعيد نفس العملية مع b و c و نجمع لنحصل على العبارة التي في التمرين.

أما التمرين الثالث لا توجد صيغة مجموع (لا يوجد أي برهان على هذا)

و شكرا لكل من تفاعل مع الموضوع