المتتاليات

[dominic]

المتتاليات: تعاريف و خاصيات -I
-1 تعريف
􀁠 جزء من I ليكن
􀁜 نحو I المتتالية العددية هي تطبيق من
اصطلاحات
متتالية عددية u : I → 􀁜 -*
ويسمى أيضا الحد العام. n يسمى حد المتتالية ذا المدل un العدد . u (n) عوض un بواسطة n يرمز لصورة
.u عوض (un)n∈I يرمز للمتتالية ب
(un ) أو (un )n≥ فانه يرمز للمتتالية ب 0 I = 􀁠 *- اذا آان
(un )n≥ فانه يرمز للمتتالية ب 1 I = 􀁠* *- اذا آان
فانه يرمز للمتتالية أيضا ب ( ) I = {n∈􀁠/ n ≥ n *- اذا آان { 0
0 n n n u ≥
ملاحظة
منتهية I منتهية إذا آانت المجموعة (un)n∈I تكون المتتالية
أمثلة
المعرفة ب : (wn )n≥ و 1 (vn )n≥ و 2 (un ) نعتبر المتتاليات العددية
( 2)n 3
و un = − + n 2 2 3 و vn = n − n 1
*
1
2
n 2 n 1
w
w + w n
= − 

 = + ∀ ∈􀁠
(wn )n≥ و 1 (vn )n≥ و 2 (un ) أحسب الحدود الأربعة الأولى لكل من المتتاليات
-2 مجموعة القيم لمتتالية
تعريف
{ / } n . (un )n∈I هي مجموعة قيم المتتالية u n∈ I

( 1)n المعرفة ب (un ) مثال نعتبر المتتالية العددية
un = −
{− هي { 1;1 (un ) مجموعة القيم للمتتالية
-3 تساوي متتاليتين
تعريف
∀n∈ I un = vn متساويتين اذا و فقط اذا آان (vn )n∈I و (un)n∈I تكون متتاليتان
مثال
( 1)n حيث (vn ) و (un ) قارن المتتاليتين
vn = cos nπ و un = −
-4 العمليات على المتتاليات
عدد حقيقي k متتاليتين و (vn )n∈I و (un)n∈I لتكن
(un )n∈I + (vn )n∈I = (vn + un )n∈I : المجموع
(un )n∈I ×(vn )n∈I = (vn × un )n∈I : الجداء
k × (un )n∈I = (k × un )n∈I : جداء متتالية في عدد حقيقي
-5 تحديد متتالية
تحدد المتتالية اذا علمت حدودها أو الوسيطة التي تمكن من حساب أي حد من حدودها.
و هناك عدة طرق منها على الخصوص

أمثلة
المعرفة ب : (wn )n≥ و 1 (vn ) و (un ) نعتبر المتتاليات العددية
عدد حقيقي و ( ) a حيث vn = a و un = 2n − 6 2
1
n
wn
n
−
=
+
متتاليات محددة بالصيغة الصريحة (wn )n≥ و 1 (vn ) و (un )
(wn )n≥ و 1 (vn ) و (un ) أحسب الحد الثالث لكل من المتتاليات
ب – المتتالية الترجعية: أي لحساب حد من حدودها نرجع لحدود أخرى
أمثلة
المعرفة ب : (wn )n≥ و 1 (vn ) و (un ) نعتبر المتتاليات العددية
0
1
1
n 2 n 3 1
u
u u − n
= − 

 = − + ≥
و 0 1
1 1
2 1
n 2 n n 1
v v
v + v v − n
= = − 

 = + ≥
3
1
1
n 3 n 1
w
w + w n
= 

 = − ∈􀁠
متتاليات ترجعية (wn )n≥ و 1 (vn ) و (un )
w0 ; w2 ; v3 ; v2 ; u3 ; u2 ; u أحسب 1
المتتاليات المحدودة – المتتاليات الرتيبة -II
-1 المتتالية المكبورة – المتتالية المصغورة – المتتالية المحدودة
تعريف
∀n∈ I un ≤ M بحيث M مكبورة اذا وفقط اذا وجد عدد حقيقي (un)n∈I تكون المتتالية
∀n∈ I un ≥ m بحيث m مصغورة اذا وفقط اذا وجد عدد حقيقي (un)n∈I تكون المتتالية
مكبورة و مصغورة (un)n∈I محدودة اذا وفقط اذا آانت (un)n∈I تكون المتتالية
محدودة * (un )n∈I ملاحظة
∃k ∈􀁜+ ∀n∈ I un ≤ k ⇔
أمثلة
المعرفة ب : (wn )n≥ و 1 (vn ) و (un ) نعتبر المتتاليات العددية
و ( ) vn = −3n + و 5 un = 2n −1 1
1
n
wn
n
−
=
+
محدودة. (wn )n≥ مكبورة و 1 (vn ) مصغور ة و (un ) بين أن
-2 المتتالية الرتيبة
تعريف
un ≥ um تستلزم n 􀀻 m : I من m و n تزايدية اذا وفقط اذا آان لكل (un)n∈I تكون المتتالية
un 􀀻 um تستلزم n 􀀻 m : I من m و n تزايدية قطعا اذا وفقط اذا آان لكل (un)n∈I تكون المتتالية
un ≤ um تستلزم n 􀀻 m : I من m و n تناقصية اذا وفقط اذا آان لكل (un)n∈I تكون المتتالية
un ≺ um تستلزم n 􀀻 m: I من m و n تناقصية قطعا اذا وفقط اذا آان لكل (un)n∈I تكون المتتالية
un = um لدينا I من m و n تابثة اذا وفقط اذا آان لكل (un)n∈I تكون المتتالية
أمثلة
vn = −3n + و 5 un = 2n − حيث 1 (vn ) و (un ) أدرس رتابة المتتاليتين العدديتي
( n)n I u ∀n ∈I un+1 ≥un ⇔ ∋ متتالية تزايدية
( n)n I u ∀n ∈I un+1 􀀻un ⇔ ∋ متتالية تزايدية قطعا
( n)n I u ∀n ∈I un+1 ≤un ⇔ ∋ متتالية تناقصية
( n)n I u ∀n ∈I un+1 ≺ un ⇔ ∋ متتالية تناقصية قطعا
( n)n I u ∀n ∈I un+1 =un ⇔ ∋ متتالية ثابتة
برهان
∀n ∈I un+1 ≥un ⇔ متتالية تزايدية (un)n∈I نبرهن
( n)n I * u un+1 ≥ un فان I من n لكل n +1 􀀻 n ∋ متتالية تزايدية ومنه بما أن
n 􀀻 m حيث I من m و n * عكسيا ليكن
n = m + p حيث p∈􀁠* فانه يوجد n 􀀻 m بما أن
un ≥ um عملية نحصل على p بعد um+ p ≥ um+ p−1 ≥ um+ p−2 ≥ ............ ≥ um−1 ≥ um
متتالية تزايدية (un)n∈I اذن
تمرين
المعرفة ب : (wn )n≥ و 1 (vn )n≥ و 1 (un ) نعتبر المتتاليات العددية
n 1
u n
n
=
+
و 2n
vn
n
= و
1
1
1
1 1
n 2 n
w
w + w
= 


= + 
(vn )n≥ و 1 (un ) -1 أدرس رتابة
∀n∈􀁠* wn ≺ -2 أ- بين أن 2
تزايدية . (wn )n≥ ب - بين أن 1
المتتالية الحسابية - المتتالية الهندسية -III
المتتالية الحسابية -A
-1 تعريف
تكون متتالية ( )
0 n n n u ∀n ≥ n0 un+1 =un + r بحيث r ≤ حسابية اذا آان يوجد عدد حقيقي
يسمى أساس المتتالية . r العدد
أمثلة
و 1 un = −2n + حيث 1 (vn )n≥ و 1 (un ) نعتبر المتتاليتين
vn
n
=
متتالية حسابية محددا أساسها. (un ) بين أن
متتالية حسابية؟ (vn )n≥ هل 1
-2 الخاصية المميزة
لتكن ( )
0 n n n u un = un−1 + r و un+1 = un + r ومنه r ≤ متتالية حسابية أساسها
إذن 1 1 un+1 + un−1 + r = 2un + r و بالتالي
2
n n
n
u u − + u +
=
https://arabmaths.ift.fr 4 Moustaouli Mohamed
عكسيا 1 1
0 2
n n
n
n n u u − +u +
∀n 􀀻 n0 un − un−1 = un+1 − un ∀ ومنه أي 􀀻 =
u1 − u0 = r نضع u1 − u0 = ........... = un−1 − un−2 = un − un−1 = un+1 − un ومنه
إذن ( ) ∀n ≥0 r = un+1 − un و بالتالي
0 n n n u r ≤ متتالية حسابية أساسها
الخاصية المميزة
تكون متتالية ( )
0 n n n u ≤ حسابية اذا وفقط اذا آان 1 1
0 2
n n
n
n n u u − +u +
∀ 􀀻 =
-3 صيغة الحد العام
( )
0 n n n u r ≤ حسابية أساسها
( )
0 0