كيف تحل مسألة؟

[*الطالب المجتهد*]

- رسم خطة للحل: فكر في خطة أو طريقة أو استراتيجية

تتجلى لنا خطة عندما نعرف و لو هيكلاً عاماً للعمليات الحسابية أو الرسوم الهندسية التي يلزم إجراؤها من أجل الحصول على المجهول. و قد يستبين ذلك تدريجياً أو قد تسبقه محاولات تبدو فاشلة أو فترة تردد، ثم هو يتبدى فجأة كلمحة خاطفة أو "فكرة نيرة". و رسم خطة للحل يتطلب الإلمام بالمعلومات و المعارف و الحقائق و النظريات المتعلقة بالمسألة و إلا تعذّر عليك معالجتها أو التفكير في حل لها.

و أفضل ما يقدّمه المدرس للطالب هنا أن يولّد الفكرة عند الطالب بدون أي إقحام، و ذلك عن طريق أن يسأل الطلبة أسئلة(كتلك التي في الثبت) الهدف منها استعادة بعض المعارف و الحقائق و النظريات المتعلقة بالمسألة أو مسائل سبق حلها أو نظريات سبق برهنتها و التي تفيد في الوصول للحل. فالحل، أي حل، لا يجوز أن يملى على الطالب إملاء بل ينبغي أن يستدرج للحصول عليه استدراجاً حتى يراه و هو يشعر كأنه هو الذي اكتشفه. و من أجل استدراج الطالب إلى فكرة الحل يلقي المدرس أسئلة و توجيهات بسيطة تلقائية طبيعية. و لما كان من أهم الغايات التي يجب أن يتوخاها كل مدرس ( و كل مؤلف) إظهار الدافع إلى كل خطوة من خطوات الحل و السبب الذي من أجله نخطوها و جعل هذا الدافع يبدو تلقائيا فيلزم إذاً أن نتجنب ذكر أي سؤال أو توجيه خاص لا يعرف الطالب كيف دار في خلدنا. فإذا كان حل المسألة يعتمد على استعمال نظرية فيثاغورس مثلاً، فالاتجاه الصحيح أن نتروى قليلا لعل النظرية ترد على خاطر الطالب تلقائيا. فإن هي لم ترد فالنسأله: هل تعرف نظرية تفيدك ؟ و لنفسح له مجالا للتنقيب في النظريات التي يعرفها، فإن لم يتذكر النظرية التي تنفعه فليتسع صدرنا لإلقاء أسئلة أخرى تساعده على تذكرها، و لكن لا يجوز في حال من الأحوال أن نختصر الطريق فنلقي بمثل السؤال: ما قولك في نظرية فيثاغورس؟ فنكون هنا قد فشلنا في توليد الفكرة لدى الطالب بلا إقحام أو تدخل.

و أحياناً ما يكون من المناسب في هذه المرحلة (مرحلة رسم الخطة) أن نبدأ بالسؤال: هل تعرف مسألة ذات صلة بمسألتك؟ و قد تكون العقبة هنا أن هناك الكثير من المسائل التي لها صلة بالمسألة، أي مشتركة معها في نقطة ما. فكيف نختار منها مسألة لها فائدة مضمونة؟ هناك توجيه يقول لنا: انظر إلى المجهول و حاول تذكّر مسألة تعرفها فيها هذا المجهول أو آخر يشبهه.

و قد يحدث، بينما نحاول البحث في مختلف المسائل و النظريات التي نعرفها، أن نشطّ عن المسألة الأصلية وتضيع علينا معالمها و لكن في أسئلة الثبت ما يعيدها إلى دائرة تفكيرنا: هل استعملت كل المعطيات هل استعملت الشرط كله؟

و على المدرس أن يكون مستعداً لتكرار الأسئلة التي يعجز عنها الطلاب بتعديل مبسط أو تغيير في الأسلوب، و يتوقع أن يكون الصمت جواباً في كثير من الأحيان.

* النقطة الأساسية هنا أنك تحاول إيجاد رابطة بين المعلومات المعطاة و المطلوبة حتى تستطع رسم خطة حل. و عادة يكون من المفيد هنا أن تسأل نفسك بوضوح و صراحة: كيف أربط ذهنياً المعطى بالمجهول؟ و إذا لم تجد جواباً، ربما تفيدك إحدى التكتيكات التالية:

- قم بإقامة علاقة سببية أو منطقية بين حالة المسألة و معرفة سابقة.انظر إلى المجهول و حاول تذكّر مسالة مألوفة لك أكثر كان لديها نفس المجهول.

- حاول التعرف على نمط أو أسلوب في المسألة: بعض المسائل يتم حلها بواسطة التعرف على نوع النمط الذي يحدث. هذا النمط أو الأسلوب قد يكون هندسيا، عدديا، أو جبريا. إذا كنت تشاهد أو تلاحظ نوع من الانتظام أو التكرار في المسألة. من المحتمل أن تقدر على تخمين شكل النمط الذي تنطوي عليه المسألة و من ثم برهنته.

- استخدم التشابه أو التناظر: حاول أن تفكر في مسألة أخرى مشابهة للمسألة المراد حلها أو مرتبطة بها و تكون "أسهل". فقد تعطيك مفاتيح حل مسألتك "الأصعب". مثلاً، إذا احتوت المسألة على عدد كبير من الأعداد، بإمكانك أولا المحاولة في مسألة فيها عدد أقل من الأعداد. أو مثلا إذا كانت المسألة تحتوي هندسة ثلاثية الأبعاد تستطيع أن تنظر لمسألة مشابهة في الهندسة المستوية. و إذا كانت المسألة التي عليك حلها مسألة عامة، بإمكانك أولاً المحاولة في حالة خاصة.

- تقديم شيء ما زائداً للمسألة: في بعض الأحيان يكون من الضروري تقديم شيء ما جديداً، كعامل مساعد، ليساعد في صنع ترابط بين المعطى و المجهول(المطلوب). على سبيل المثال، في المسألة التي يكون فيها الرسم التوضيحي مفيدا، قد يكون العامل المساعد هنا خطا جديدا يُرسم على الرسم التوضيحي. مثال آخر، قد يكون العامل المساعد في مسألة جبرية عبارة عن مجهول جديد مرتبط بالمجهول الأصلي.

و بالطبع هذا على سبيل المثال لا الحصر..

[*الطالب المجتهد*]

3- تنفيذ الخطة

بعد أن قمت بعمل الخطة، يأتي دور تنفيذها و هنا عليك أن تتحقق من صحة كل خطوة تقوم بها حتى تجتنب الأخطاء.

و قد تقتنع بصحة خطوة ما من تفكيرنا إما اقتناعاً "حدسياً" أو "شكلياً" فقد نركز الذهن على الخطوة فتبدو لبصيرتنا بجلاء و وضوح يجعلنا نؤمن بصحتها أو قد نستنتجها استنتاجاً حسب القواعد الشكلية. (و الفارق بين "رؤية الحقيقة" و بين "البرهان الشكلي" عليها واضح في كثير من الحالات الهامة فلندع التفاصيل للفلاسفة).

و الأساس هنا أن يؤمن الطالب إيماناً صادقاً بصحة خطواته. و لكن يستحسن أن يكشف المدرس بين حين و حين عن الفرق بين "الاقتناع" و "البرهان": أترى بوضوح أن الخطوة صحيحة؟ هل يمكنك أيضاً أن تثبت صحتها؟

و لذلك يستحسن أن يتغاطى المدرس عن السؤال عن التحقق من كل خطوة عن طريق البرهان إلا في المسائل الصعبة و الهامة. و فيما عدا ذلك يكفي التحقق حدسياً.

[*الطالب المجتهد*]

الفكرة النيرة:

و "الفكرة الجيدة" و "بارقة الأمل" كلمات تعبر عن تقدم فجائي في طريق الحل. و تراءي الفكرة النيرة تجربة تمر على كل فرد منا. و لكن ما هو التقدم نحو الحل؟ إنه تعبئة معلوماتنا و تنظيمها و تطوير فهمنا للمسألة و زيادة مقدرتنا على إدراك الخطوات التالية التي يتألف منها الحل النهائي. و نحن قد نتقدم بثبات و خطى بطيئة و لكننا بعد حين و حين نتقدم فجأة بطفرات و قفزات. و القفزة الفجائية نحو الحل هي الفكرة النيرة أو الفكرة الطيبة أو وقدة الذهن ( و لها اصطلاح فني مناسب في الألمانية هو). و ما هي الفكرة النيرة؟ إنها تغيّر مفاجئ في وجهة النظر، تعديل مفاجئ لفهمنا للمسألة، إدراك واثق مفاجئ لخطوات نخطوها من أجل الحل.

الفائدة التربوية:

إن الرياضيات ليس مجرد شيئاً يُجرى على الورق بل هناك كثير من الفوائد التربوية التي قد يجنيها الطالب من خلال المسائل الرياضية منها:

- إن هذه المراحل و الأسئلة و التوجيهات، التي نتعلمها و نتمرن عليها من خلال حل مسائل الرياضيات، عامة تقدم للبحث عن حل أي مسألة رياضية أو غير رياضية. خذ مثلاً السؤال: ما هو المجهول (المطلوب)؟ إنه عام يمكن أن يقدم لأي مسألة. فأي مشكلة تريد حلها لابد أن تعرف ما هو المطلوب أي ما الحالة أو الهدف الذي إذا تم فإن المشكلة تكون قد حلّت. إذاً فهذه المراحل و الأسئلة عامة قد توجه لأي مسألة فتؤدي إلى نتائج طيبة.

- إذا نجح الطالب في حل المسألة التي بين يديه، فقد زاد قليلاً في مقدرته على حل المسائل و لاسيما تعزيز إمكانيته و مهارته في حل مسائله في المستقبل أو في حياته بنفسه.

- اكتساب سلوك إيجابي حسن مثل الصبر و تعزيز الثقة بالنفس و العزم على النجاح بالعمل المجتهد.

- تعزيز ملكتي قوة البديهة وسعة الخيال.

رسالة إلى المدرس:

إن الدرس، أي درس، كاللوحة الفنية إذا أحسن المدرس عرضه خرج منه و قد طبع في أذهان طلابه- رجال الغد المسؤولين- فوق المعلومات المجردة حباً جديداً للبحث و ثقة جديدة في النفس و أملاً جديداً في المستقبل. تذكّر دائماً أن من أهم نتائج و توصيات علماء النفس أن يتم الاهتمام بالطالب قبل المادة، و أن الطالب قلما يفهم الحل إن هو لم يتبين الدافع إليه و الطريقة التي تم بها اكتشافه.

و المدرس الذي يبتغي أن ينمي ملكة طلابه في حل المسائل عليه أن يثير في أذهانهم بعض الاهتمام و أن يفسح لهم المجال للتقليد و المران. و إذا هو أراد أن تنشط لديهم العمليات الذهنية التي ترافق أسئلة الثبت و توجيهاته، فيجب أن يلقيها عليهم مرة بعد مرة، شرط أن تصدر طبيعية لا تكلف فيها. وفوق ذلك فهو يستطيع أن ينتهز فرصة حله لمسألة أمامهم فيجري ما يشبه تمثيلية فيلقي فيها على نفسه تلك الأسئلة التي يلقيها على طلابه، و بذا يتفق للطالب بعد حين اكتشاف طريقة استعمال هذه الأسئلة والتوجيهات استعمالاً صحيحاً، و يكون قد جنى فائدة أعظم من مجرد التعرف على حقيقة من حقائق الرياضيات.

[1] أحمد سليم سعيدان، مترجم كتاب
How to Solve It
باللغة العربية، بكالوريوس علوم في الرياضيات من الجامعة الأمريكية ببيروت و من جامعة لندن.

[2] كتاب: An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field (Dover,1954)
للمؤلف Jacques Hadamard يحكي كيف يستخدم رياضيين حقيقيين العقل اللاواعي لحل المسائل

المصدر الأساسي كتاب How to Solve It ترجمة الطبعة الثامنة 1957.