@@ أحسب هذه النهاية و أثبت أنك ذكي @@

fadi3 · 2010-12-22, 18:10

نضع
$f(x)=\ln (x^{2}-2x+1)$
وهي معرفة على R
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (x^{2}-2x+1)-\ln 1}{x}$
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (x^{2}-2x+1)}{x}={f}'(0)$
${f}'(0)=\frac{2}{-1}=-2$

عمر26 · 2010-12-22, 21:08

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة fadi3

نضع
$f(x)=\ln (x^{2}-2x+1)$
وهي معرفة على R
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (x^{2}-2x+1)-\ln 1}{x}$
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (x^{2}-2x+1)}{x}={f}'(0)$
${f}'(0)=\frac{2}{-1}=-2$

شكرا على الإجابة النموذجية ...فق هذه الدالة معرفة على $\mathbb{R}-\left \{ 1 \right \}$ و ليس $\mathbb{R}$

عمر26 · 2010-12-22, 21:30

$\lim_{x \to \0 }\frac{ln(x^{2}-2x+1)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(x-1)^{2}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2ln\left |(x-1) \right |}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2ln\left (1-x) \right }{x}$
لأن $\left | x-1 \right |=1-x$ بجوار 0

بوضع x=-t لما يؤول x إلى 0 فإن t يؤول إلى 0 أيضا
نجد :
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2ln\left (1-x) \right }{x}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{2ln\left (1+t) \right }{-t}=-2\lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln\left (1+t) \right }{t}=-2$
ونحصل على هذه النتيجةايضا باستعمال العدد المشتق