انصرو الاسلام

[ens 1990]

Leçons dans les circuits électriques - Volume IV

Chapitre 7

Algèbre de Boole

* Introduction
* Arithmétique booléenne
* Booléenne identités algébriques
* Booléenne propriétés algébriques
* Des règles booléennes de simplification
* Des exemples de simplification du circuit
* La fonction OU exclusif
* DeMorgan théorèmes
* Conversion en tables de vérité des expressions booléennes


0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
Règles de l'addition pour les quantités booléenne

"Gee Toto, je ne pense pas que nous sommes plus au Kansas!
Dorothy dans Le Magicien d'Oz

Introduction

règles mathématiques sont basés sur les limites que nous accordons à la définition des quantités notamment numériques traitées. Quand on dit que 1 + 1 = 2 ou 3 + 4 = 7, nous sommes ce qui implique l'utilisation de quantités entier: les mêmes types de numéros nous avons tous appris à compter dans l'enseignement primaire. Ce que la plupart des gens supposent à des règles évidentes de l'arithmétique - valide en tout temps et à toutes fins - en fait dépendre de ce que nous définissons un certain nombre d'être.
Par exemple, lors du calcul des quantités de circuits AC, nous constatons que la «vraie quantités de numéro" qui nous a si bien servi dans l'analyse de circuits à courant continu sont insuffisantes pour la tâche de représenter les quantités AC. Nous savons que les tensions ajouter lorsqu'il est connecté en série, mais nous savons aussi qu'il est possible de connecter une source AC 3-V en série avec une source AC 4-V et finissent avec une tension totale de 5 volts (3 + 4 = 5) ! Est-ce que cela signifie des règles inviolables et de soi de l'arithmétique ont été violés? Non, cela signifie juste que les règles de «vrais» chiffres ne s'appliquent pas aux types de quantités rencontrées dans les circuits AC, où chaque variable est à la fois une ampleur et d'une phase. Par conséquent, nous devons utiliser un autre type de valeur numérique, ou un objet, pour les circuits AC (nombres complexes, plutôt que des nombres réels), et avec ce système différent de numéros est un ensemble de règles différentes pour nous dire comment ils se rapportent à un autre .
Une expression telle que "3 + 4 = 5» est un non-sens dans le champ et la définition des nombres réels, mais il s'intègre bien dans le champ et la définition des nombres complexes (pensez à un triangle rectangle dont les côtés opposés et adjacents de 3 et 4, avec une hypoténuse de 5). Parce que les nombres complexes sont en deux dimensions, ils sont capables de "ajouter" un avec l'autre trigonométriquement que seule dimension "réelle" nombres ne peuvent pas.
La logique est un peu comme les mathématiques, à cet égard: la soi-disant «lois» de la logique dépendent de la façon dont nous définissons ce qu'est une proposition est. Le philosophe grec Aristote a fondé un système de logique basée sur seulement deux types de propositions: vraies et fausses. Son bivalent (bi-mode) définition de la vérité conduit à la quatre lois fondamentales de la logique: le principe d'identité (A est A), la loi de non-contradiction (A n'est pas non-A); le droit de la Exclusion du Milieu (A ou non A), et le droit de Rational inférence. Ces soi-disant lois de fonction dans le cadre de la logique où une proposition se limite à l'une des deux valeurs possibles, mais peuvent ne pas s'appliquer dans les cas où les propositions peuvent contenir des valeurs autres que les «vrais» ou «faux». En fait, beaucoup de travail a été fait et continue d'être fait sur "plusieurs valeurs», ou la logique floue, où les propositions peuvent être vraies ou fausses dans une mesure limitée. Dans un tel système de la logique, «Lois» telles que le droit de la Exclusion du Milieu n'ont tout simplement pas applicable, parce qu'elles sont fondées sur l'hypothèse de bivalence. De même, de nombreux locaux qui violerait la loi de non-contradiction dans la logique aristotélicienne ont une validité dans le "flou" logique. Encore une fois, les limites de la définition des valeurs propositionnel déterminer les lois décrivant leurs fonctions et relations.
Le mathématicien anglais George Boole (1815-1864) a cherché à donner une forme symbolique au système d'Aristote de la logique. Boole a écrit un traité sur le sujet en 1854, intitulé Une enquête des lois de la pensée, sur lesquels sont fondées les théories mathématiques de la logique et probabilités, qui codifie plusieurs règles de la relation entre les quantités mathématiques limitée à l'une des deux valeurs possibles: vrai ou faux, 1 ou 0. Son système mathématique est devenu connu comme l'algèbre de Boole.
Toutes les opérations arithmétiques effectuées avec des quantités booléennes ont, mais un des deux résultats possibles: 0 ou 1. Il n'y a pas une telle chose comme "2" ou "-1" ou "1 / 2" dans le monde booléenne. C'est un monde dans lequel toutes les autres possibilités sont invalides par Fiat. Comme on peut le deviner, ce n'est pas le genre de mathématiques que vous souhaitez utiliser lors de l'équilibrage d'un chéquier ou de calcul de courant à travers une résistance. Toutefois, Claude Shannon de la renommée du MIT reconnu l'algèbre de Boole pourrait être appliquée à des circuits à l'intérieur et à pied, où tous les signaux sont caractérisés comme étant «élevé» (1) ou «faible» (0). Sa thèse de 1938, intitulé Une analyse symbolique des circuits de commutation de relais et, mis travaux théoriques de Boole à utiliser d'une manière Boole n'aurais jamais pu imaginer, nous donnant ainsi un puissant outil mathématique pour la conception et l'analyse des circuits numériques.
Dans ce chapitre, vous trouverez beaucoup de similitudes entre l'algèbre de Boole et «normal» l'algèbre, la nature de l'algèbre impliquant que l'on appelle des nombres réels. Juste garder à l'esprit que le système de numéros de définir l'algèbre de Boole est très limitée en termes de portée, et qu'il ne peut être l'une des deux valeurs possibles pour une variable booléenne: 1 ou 0. Par conséquent, les «lois» de l'algèbre de Boole diffèrent souvent de les "Lois" de l'algèbre réelle nombre, rendant possible des énoncés tels que 1 + 1 = 1, ce qui serait normalement considéré comme absurde. Une fois que vous comprenez le principe de toutes les quantités dans l'algèbre de Boole étant limité à deux possibilités de 1 et 0, et le principe philosophique général des lois en fonction de définitions quantitatives, les «non-sens» de l'algèbre booléenne disparaît.
Il doit être clairement entendu que le nombre de booléens ne sont pas les mêmes que les nombres binaires. Considérant que les numéros booléens représentent un système complètement différent des mathématiques à partir des nombres réels, binaire n'est rien de plus une notation alternative pour les nombres réels. Les deux sont souvent confondues en raison à la fois la notation mathématiques booléens et binaires, utilisez les deux mêmes chiffres: 1 et 0. La différence est que les quantités booléennes sont limités à un seul bit (0 ou 1), tandis que les nombres binaires peuvent être composés de plusieurs bits en ajoutant en place sous forme pondérée d'une valeur de n'importe quelle taille finie. Le nombre binaire 100112 («dix-neuf") n'a pas plus de place dans le monde booléenne que le nombre décimal 210 ("deux") ou le nombre octal 328 («vingt-six").
arithmétique booléenne

Commençons notre exploration de l'algèbre de Boole en ajoutant des numéros ainsi que:

Les trois premières sommes parfaitement logique pour quiconque connaît plus élémentaires. La dernière somme, cependant, est très probablement responsable de plus de confusion que de toute autre déclaration unique dans l'électronique numérique, car il semble aller à l'encontre des principes de base des mathématiques. Eh bien, il ne contredit les principes de l'addition des nombres réels, mais pas pour les numéros de booléens. N'oubliez pas que dans le monde de l'algèbre de Boole, il n'y a que deux valeurs possibles pour toutes les quantités et pour toute opération arithmétique: 1 ou 0. Il n'y a pas une telle chose comme "2" dans le cadre de valeurs booléennes. Puisque la somme "1 + 1» n'est certainement pas 0, il faut 1 par processus d'élimination.
Il n'a pas d'importance combien de quelques termes ou on additionne, que ce soit. Considérons les sommes suivantes:

Portez une attention particulière à la somme de deux mandats dans la première série d'équations. Est-ce ce modèle aspect familier pour vous? Il convient! C'est le même schéma de 1 et 0 comme on le voit dans la table de vérité d'une porte OU. En d'autres termes, plus booléenne correspond à la fonction logique d'un «OU» porte, ainsi que de contacts de l'interrupteur en parallèle:
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Il n'y a pas une telle chose comme la soustraction dans le domaine des mathématiques booléenne. Soustraction implique l'existence de nombres négatifs: 5 - 3 est la même chose que 5 + (-3), et l'algèbre de Boole des quantités négatives sont interdites. Il n'ya rien de tel que la division en mathématiques booléenne, que ce soit, puisque la division est vraiment rien de plus aggravé la soustraction, de la même manière que la multiplication est composé d'addition.
La multiplication est valable dans l'algèbre de Boole, et, heureusement, il est le même que dans l'algèbre nombre réel: tout multiplié par 0 est égal à 0, et tout ce qui, multiplié par 1 reste inchangée:

Cet ensemble d'équations doivent aussi aller vous connaissez: c'est le même schéma dans la table de vérité d'une porte ET. En d'autres termes, la multiplication booléenne correspond à la fonction logique d'un "AND", ainsi que de contacts de commutation série:
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Comme "normal" algèbre, l'algèbre de Boole utilise des lettres alphabétiques pour désigner des variables. Contrairement à "normal" algèbre, cependant, les variables booléennes sont toujours des majuscules, minuscules jamais. Parce qu'elles sont autorisées à posséder une seule des deux valeurs possibles, 0 ou 1, chaque variable a un complément: le contraire de sa valeur. Par exemple, si la variable «A» a une valeur de 0, alors le complément de A a une valeur de 1. Boolean notation utilise une barre au-dessus du caractère variable pour désigner complémentation, comme ceci:

Sous forme écrite, le complément de "A" notée "A-pas" ou "Un bar-". Parfois, une "prime" symbole est utilisé pour représenter la complémentation. Par exemple, A 'sera le complément de A, sensiblement le même que l'utilisation d'un symbole pour désigner le Premier différenciation dans le calcul plutôt que la notation des fractions d / dt. Habituellement, cependant, le "bar" symbole constate une utilisation plus répandue que la "prime" symbole, pour des raisons qui apparaîtront plus clairement plus loin dans ce chapitre.
complémentation booléenne trouve ***** alency sous la forme de la porte NON, ou un interrupteur normalement fermé ou un contact de relais:
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La définition de base des quantités booléenne a conduit à des règles simples d'addition et de multiplication, et a exclu la fois la soustraction et la division des opérations arithmétiques comme valide. Nous avons une symbologie pour indiquer les variables booléennes, et leurs compléments. Dans la section suivante, nous allons procéder à créer des identités booléennes.

* EXAMEN:
* Outre booléenne est ***** ALENT à la fonction logique OU, ainsi que les contacts d'interrupteurs en parallèle.
* Multiplication booléenne est ***** ALENT à la fonction logique ET, ainsi que les contacts d'interrupteurs en série.
* Complémentation booléenne est ***** ALENT à la fonction logique NON, ainsi que des contacts de relais normalement fermé.

identités algébriques booléennes

En mathématiques, une identité est un énoncé vrai pour toutes les valeurs possibles de ses variables ou variables. L'identité algébrique de x + x = 0 nous dit que tout (x) est égal à zéro a ajouté l'original "rien", quelle que soit la valeur que "quelque chose" (x) peut être. Comme l'algèbre ordinaire, l'algèbre de Boole a sa propre identité unique basé sur les États bivalent de variables booléennes.
La première identité booléenne est que la somme de rien et zéro est la même que l'original "rien." Cette identité n'est pas différent de ses algébrique réelle numéro ***** ALENT:
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Quelle que soit la valeur de A, la sortie sera toujours le même: quand A = 1, la sortie sera également 1; lorsque A = 0, la sortie sera aussi 0.
L'identité suivante est très certainement différent de tout voir en algèbre normale. Ici, nous découvrons que la somme de tout ce qui est l'un et l'autre:
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Quelle que soit la valeur de A, la somme de A et 1 sera toujours 1. Dans un sens, le signal «1» l'emporte sur l'effet de A sur le circuit logique, laissant la sortie fixée à un niveau logique 1.
Ensuite, nous examinons l'effet de l'ajout de A et A ensemble, qui est la même que la connexion de deux entrées d'une porte OU à l'autre et de les activer avec le même signal:
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En algèbre réel le nombre, la somme de deux variables identiques est deux fois la valeur de la variable d'origine (x + x = 2x), mais rappelez-vous qu'il n'y a pas de concept de "2" dans le monde des mathématiques booléenne, que 1 et 0, de sorte nous ne pouvons pas dire que A + A = 2A. Ainsi, lorsque nous ajoutons une quantité booléens pour lui-même, la somme est égale à la quantité initiale: 0 + 0 = 0, et 1 + 1 = 1.
L'introduction du concept unique booléenne de complémentation dans un additif d'identité, nous trouvons un effet intéressant. Depuis il doit y avoir un "1" de valeur entre une variable et son complément, et puisque la somme d'une quantité booléenne et 1 est 1, la somme d'une variable et son complément doit être de 1:
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Tout comme il ya quatre booléenne identités additif (A +0, A +1, A + et A + A '), donc il ya aussi quatre identités multiplicatif: Ax0, Ax1, AXA et AXA. Parmi ceux-ci, les deux premiers ne sont pas différents de leurs expressions ***** ALENT en algèbre ordinaire:
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L'identité multiplicative troisième exprime le résultat d'une quantité booléenne multiplié par lui-même. En algèbre normale, le produit d'une variable et lui-même est le carré de cette variable (3 x 3 = 32 = 9). Cependant, le concept de «carré» implique une quantité de 2, ce qui n'a pas de sens dans l'algèbre de Boole, nous ne pouvons pas dire que A x A = A2. Au lieu de cela, nous trouvons que le produit d'une quantité booléens et lui-même est la quantité initiale, puisque 0 x 0 = 0 et 1 x 1 = 1:

L'identité quatrième multiplicatif n'a pas ALENT ***** à l'algèbre ordinaire, car elle utilise le complément d'une variable, un concept unique aux mathématiques booléenne. Depuis il doit y avoir un "0" de valeur entre une variable et son complément, et puisque le produit d'une quantité booléenne et 0 est 0, le produit d'une variable et son complément doit être 0:
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Pour résumer, donc, nous avons quatre identités de base Boolean pour l'ajout et quatre pour la multiplication:

Une autre identité d'avoir à faire avec la complémentation est celui de la double complément: une variable inversé deux fois. En complément des résultats d'une variable à deux reprises (ou tout nombre pair de fois) dans la valeur d'origine booléenne. Ceci est analogue à la négation (en multipliant par -1) dans l'algèbre nombre réel: un nombre pair de négations Annuler pour quitter la valeur d'origine:
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propriétés algébriques booléennes

Un autre type d'identité mathématique, appelé un «bien» ou une «loi», décrit comment les variables divergentes se rapportent les uns aux autres dans un système de numéros. L'une de ces propriétés est connue comme étant la propriété commutative, et elle s'applique également à l'addition et de multiplication. En substance, la propriété commutative nous dit qu'on peut inverser l'ordre des variables qui sont additionnées ou multipliées ensemble sans changer la vérité de l'expression:
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Avec les propriétés commutativité de l'addition et la multiplication, nous avons la propriété associative, encore une fois l'application aussi bien à l'addition et de multiplication. Cette propriété nous dit qu'on peut associer des groupes ajoutés ou multiplié variables avec des parenthèses sans altérer la vérité des équations.
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Enfin, nous avons la propriété distributive, illustrant la manière de développer une expression booléenne constituée par le produit d'une somme, et en marche arrière nous montre comment les termes peuvent ne pas être pris de Boolean sommes-des-produits:

Pour résumer, voici les trois propriétés fondamentales: commutative, associative et distributive.
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règles booléennes de simplification

algèbre de Boole trouve son utilisation la plus pratique dans la simplification des circuits logiques. Si nous traduisons la fonction d'un circuit logique de dans symboliques (Boolean) la forme, et d'appliquer certaines règles algébriques de l'équation résultant de réduire le nombre de termes et / ou des opérations arithmétiques, l'équation simplifiée peut être retraduite en forme de circuit pour un circuit logique de la scène la même fonction avec moins de composants. Si ***** fonction ALENT peut être atteint avec moins de composants, le résultat sera une fiabilité accrue et une diminution des coûts de fabrication.
À cette fin, il ya plusieurs règles de l'algèbre booléenne présentés dans cette section pour une utilisation dans la réduction des expressions de leurs formes les plus simples. L'identité et les propriétés déjà passé en revue dans ce chapitre sont très utiles dans la simplification booléenne, et pour la plupart similitude supporter une partie de nombreuses identités et les propriétés de "normal" algèbre. Toutefois, les règles présentées dans cette section sont tous uniques aux mathématiques booléenne.
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Cette règle ne peut être prouvée par l'affacturage symboliquement un «A» sur les deux termes, puis en appliquant les règles d'un + 1 = 1 et 1A = A pour atteindre le résultat final:

S'il vous plaît noter comment la règle A + 1 = 1 a été utilisé pour réduire le (B + 1) terme à 1. Quand une règle comme "A + 1 = 1" est exprimé en utilisant la lettre "A", cela ne signifie pas qu'elle ne s'applique qu'aux expressions contenant "A". Ce que le «A» représente en règle générale comme A + 1 = 1 est une variable booléenne ou une collection de variables. C'est peut-être le concept le plus difficile pour les nouveaux étudiants à la maîtrise en matière de simplification booléenne: l'application des identités standardisées, les propriétés et les règles d'expressions et non sous forme standard.
Par exemple, l'expression booléenne ABC + 1 permet également de réduire à 1 par le biais de "A + 1 = 1 identité». Dans ce cas, nous reconnaissons que le "A" terme sous forme standard de l'identité peut représenter l'ensemble du "ABC" terme dans l'expression originale.
La règle suivante est similaire à la première présentés dans cette section, mais est en fait très différente et requiert une preuve plus intelligent:
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Notez comment la dernière règle (A + AB = A) est utilisé pour "non-simplifier" le premier "A" terme dans l'expression, en changeant le "A" dans un "A + AB". Même si cela peut sembler comme un pas en arrière, il a certainement contribué à réduire l'expression de quelque chose de plus simple! Parfois, en mathématiques, nous devons prendre "en arrière" des mesures pour atteindre la solution la plus élégante. Savoir quand prendre une telle mesure et quand ne pas fait partie de l'art-forme de l'algèbre, comme une victoire dans une partie d'échecs nécessite presque toujours calculée sacrifices.
Une autre règle implique la simplification d'un produit-de-sommes l'expression:

Et, la preuve correspondante:

Pour résumer, voici les trois nouvelles règles de simplification booléenne exposées dans cette section:

exemples de simplification du circuit

Commençons par un circuit semi-conducteur porte dans le besoin de simplification. La Une »,« B »et« C signaux d'entrée "sont censés être fournis par des commutateurs, capteurs, circuits ou peut-être d'autres portes. Lorsque ces signaux proviennent n'intéresse pas dans la tâche de la réduction de la porte.

Notre première étape dans la simplification doit être d'écrire une expression booléenne pour ce circuit. Cette tâche est facile à réaliser, étape par étape si l'on commence par écrire des sous-expressions à la sortie de chaque porte, correspondant à des signaux d'entrée respectifs pour chaque porte. Rappelez-vous que les portes OU sont ***** ALENT à l'addition booléenne, tandis que les portes ET sont ***** ALENT à la multiplication booléenne. Par exemple, je vais écrire sous-expressions à la sortie des trois premières portes:

. . . puis un autre sous-expression de la grille suivante:

Enfin, la sortie ("Q") est considérée comme étant égale à la Colombie-Britannique expression AB + (B + C):

Maintenant que nous avons une expression booléenne à travailler, nous devons appliquer les règles de l'algèbre booléenne pour réduire l'expression à sa forme la plus simple (plus simple définie comme exigeant le moins de barrières à mettre en œuvre):

L'expression finale, B (A + C), est beaucoup plus simple que l'original, effectue encore la même fonction. Si vous souhaitez vérifier cela, vous pouvez générer une table de vérité pour les deux expressions et de déterminer le statut de Q (sortie des circuits ») pour toutes les combinaisons logiques étatiques huit A, B et C, pour les deux circuits. Les deux tables de vérité doivent être identiques.
Maintenant, nous devons générer un schéma à partir de cette expression booléenne. Pour ce faire, d'évaluer l'expression, à la suite bon ordre mathématique des opérations (multiplication avant l'addition, les opérations entre parenthèses avant toute autre chose), et d'en tirer les portes pour chaque étape. Rappelez-vous encore que les portes OU sont ***** ALENT à l'addition booléenne, tandis que les portes ET sont ***** ALENT à la multiplication booléenne. Dans ce cas, nous commencerons avec la sous-expression "A + C", qui est une porte OU:

La prochaine étape dans l'évaluation de l'expression «B (A + C)" est de multiplier (porte ET) le signal B par la sortie de la porte précédente (A, C +):

De toute évidence, ce circuit est beaucoup plus simple que l'original, ne contenant que deux portes logiques au lieu de cinq. Cette réduction résulte composante de la vitesse de fonctionnement plus élevée (moins de temps retard de la transition du signal d'entrée à la sortie du signal de transition), moins de consommation de puissance, moins de coûts et une plus grande fiabilité.
circuits de relais électromécaniques, étant généralement plus lente, plus le pouvoir de consommation électrique pour faire fonctionner, coûte plus cher, et avoir une vie moyenne plus courte que leurs homologues des semi-conducteurs, bénéficient considérablement d'une simplification booléenne. Prenons un exemple de circuit:

Comme précédemment, notre première étape dans la réduction de ce circuit à sa forme la plus simple doit être de développer une expression booléenne du schéma. La meilleure façon que j'ai trouvé pour ce faire est de suivre les mêmes étapes que j'avais normalement suivre afin de réduire un réseau de résistances en série-parallèle à une seule résistance totale. Par exemple, examinez le réseau de résistances suivantes à ses résistances disposés dans la structure même connexion que les contacts de relais dans le circuit de l'ancien, et correspondant formule résistance totale:

Rappelez-vous que les contacts parallèles sont ***** ALENT à l'addition booléenne, tandis que des contacts séries sont ***** ALENT à la multiplication booléenne. Donnez une expression booléenne pour ce circuit contact de relais, à la suite du même ordre de priorité que vous pouvez suivre pour réduire un réseau de résistances en série-parallèle à une résistance totale. Il peut être utile d'écrire une valeur booléenne sous-expression à gauche de chaque échelle «sonné», pour aider à organiser votre expression écrite:

Maintenant que nous avons une expression booléenne à travailler, nous devons appliquer les règles de l'algèbre booléenne pour réduire l'expression à sa forme la plus simple (plus simple définie comme exigeant le moins de contacts de relais pour mettre en œuvre):

Les plus enclins mathématiquement devrait être en mesure de voir que les deux étapes utilisant la règle "A + AB = A" peuvent être combinés en une seule étape, la règle étant extensible à: "A + AB + AC + AD +... = A "

Comme vous pouvez le voir, le circuit de réduction est beaucoup plus simple que l'original, effectue encore la même fonction logique:

* EXAMEN:
* Pour convertir un circuit de porte d'une expression booléenne, l'étiquette de chaque sortie de grille avec une sous-expression booléenne correspondant à des signaux d'entrée des portes, jusqu'à ce qu'une expression finale est atteint à la dernière porte.
* Pour convertir une expression booléenne à un circuit de porte, d'évaluer l'expression à l'aide de commande standard d'opérations: la multiplication avant l'addition, et les opérations entre parenthèses avant toute autre chose.
* Pour convertir un circuit logique à relais pour une expression booléenne, l'étiquette chaque échelon d'une sous-expression booléenne correspondant à des signaux d'entrée les contacts », jusqu'à ce que l'expression finale soit prise à la dernière bobine ou de la lumière. Pour déterminer le bon ordre de l'évaluation, de traiter les contacts comme s'ils étaient les résistances, et comme si vous étiez détermination de la résistance totale du réseau série-parallèle formé par eux. En d'autres termes, chercher des contacts qui sont, soit directement, en série ou directement en parallèle les uns avec les autres d'abord, puis "effondrement" dans les ***** ALENT booléenne sous-expressions avant de procéder à d'autres contacts.
* Pour convertir une expression booléenne à un circuit logique d'échelle, d'évaluer l'expression à l'aide de commande standard d'opérations: la multiplication avant l'addition, et les opérations entre parenthèses avant toute autre chose.

La fonction OU exclusif

Un élément manifestement absent de l'ensemble des opérations booléennes est celui de OU exclusif. Considérant que la fonction ou s'il est ***** ALENT à l'addition booléenne, la fonction et à la multiplication booléenne, et la fonction NON (inverseur) pour la complémentation booléenne, il n'y a pas Boolean direct ***** ALENT Exclusive-OR. Cela n'a pas empêché les gens de l'élaboration d'un symbole pour le représenter, si:

Ce symbole est rarement utilisé dans des expressions booléennes parce que les identités, les lois et règles de simplification portant sur l'addition, multiplication, et la complémentation ne s'appliquent pas à elle. Toutefois, il existe un moyen de représenter la fonction OU exclusif en termes de OR et AND, comme cela a été démontré dans les chapitres précédents: AB + A'B

En alency booléenne *****, cette règle peut être utile dans la simplification des expressions booléennes. Toute expression suivante de la AB + A'B forme (deux portes ET et une porte OU) peuvent être remplacées par une seule porte OU exclusif.
DeMorgan théorèmes

Un mathématicien nommé DeMorgan développé une paire de règles importantes concernant la complémentation de groupe dans l'algèbre de Boole. Par complémentation groupe, je fais référence à compléter les d'un groupe de termes, représentée par une longue barre à plus d'un variable.
Vous devez rappeler dans le chapitre sur les portes logiques que renversant toutes les entrées d'une porte qui renverse's Gate fonction essentielle de et vers OR, ou vice versa, et inverse aussi la sortie. Ainsi, une porte OU avec toutes les entrées inversées (une porte-négatif OU) se comporte comme une porte NAND, et une porte ET avec toutes les entrées inversée (négatif-porte ET) se comporte comme une porte NOR. théorèmes DeMorgan l'état de la même lence ***** à "en arrière" forme: que inversant la sortie de tous les résultats dans la porte de la même fonction que le type en face de la porte (et vs OR) avec des entrées inversées:

Une longue barre qui s'étend sur les actes AB terme comme un symbole de groupement, et en tant que tel est tout à fait différent du produit de A et B indépendamment inversé. En d'autres termes, (AB) n'est pas égale à A'B '. Parce que le "Premier" symbole (') ne peut pas être étalée sur deux variables comme une barre peut, nous sommes obligés d'utiliser des parenthèses pour faire appliquer à l'ensemble AB terme dans la phrase précédente. Un bar, cependant, agit en tant que symbole de groupement propre étirée sur plus d'une variable. Cela a un impact profond sur la façon dont expressions booléennes sont évaluées et réduites, comme nous le verrons.
DeMorgan théorème peut être pensée en termes de rupture d'un symbole longue barre. Quand une longue barre est rompu, l'opération directement sous les modifications pause de plus de multiplication, ou vice versa, et les morceaux brisés bar restent sur les variables individuelles. Pour illustrer:

Lorsque plusieurs «couches» de bars existent dans une expression, vous ne pouvez briser une barre à un moment, et il est généralement plus facile de commencer par briser la simplification la plus longue (supérieure) première barre. Pour illustrer, prenons l'expression (A + (BC) ») et de réduire en utilisant les théorèmes de DeMorgan:

Sur les conseils de la rupture la plus longue (supérieure) première barre, je vais commencer par briser la barre couvrant toute l'expression comme une première étape:

En conséquence, le circuit d'origine est réduit à un à trois entrées ET porte avec l'entrée A inversé:

Il ne faut jamais briser plus d'un bar en une seule étape, comme illustré ici:

Aussi tentant que cela puisse être de conserver des mesures et de briser plus d'un bar à un moment, il conduit souvent à un résultat incorrect, il ne faut pas le faire!
Il est possible de bien réduire cette expression en cassant la barre premier court métrage, plutôt que la barre de long en premier:

Le résultat final est le même, mais plusieurs étapes sont nécessaires par rapport à la première méthode, où le plus long bar a été brisée en premier. Notez comment dans la troisième étape nous avons cassé la barre de temps à deux endroits. C'est une opération légitime mathématiques, et pas la même que la rupture de deux bars en une seule étape! L'interdiction de la rupture de plus d'un bar en une seule étape ne constitue pas une interdiction de briser une barre en plus d'un endroit. Briser dans plus d'un lieu en une seule étape est correct; briser plus d'un bar en une seule étape l'est pas.
Vous pourriez vous demander pourquoi parenthèses ont été placés autour de la sous-expression B '+ C ", compte tenu du fait que je viens de les enlever à l'étape suivante. Je l'ai fait pour souligner un aspect important mais facilement oublié: du théorème de DeMorgan. Comme une longue barre fonctions en tant que symbole de regroupement, les variables autrefois regroupés par une barre cassée doit rester groupés peur priorité adéquate (ordre de l'opération) seront perdues. Dans cet exemple, il serait vraiment pas si j'ai oublié de mettre entre parenthèses après la rupture de la barre de courte durée, mais dans d'autres cas il pourrait. Considérons cet exemple, en commençant par une expression différente:



Comme vous pouvez le voir, le maintien du groupement sous-entendus par les barres de complémentation de cette expression est cruciale pour obtenir la bonne réponse.
Let's appliquer les principes de théorèmes DeMorgan à la simplification d'un circuit de porte:

Comme toujours, notre première étape dans la simplification de ce circuit doit être de générer une expression ***** ALENT booléenne. Nous pouvons le faire en plaçant une étiquette sous-expression à la sortie de chaque porte, que les entrées sont connus. Voici la première étape dans ce processus:

Ensuite, on peut étiqueter les produits de la première porte NOR et la porte NAND. Lorsque vous traitez avec des portes de sortie inversé, il m'est plus facile d'écrire une expression pour la sortie de la porte sans l'inversion finale, avec une flèche pointant à juste avant la bulle inversion. Puis, au fil de leader hors de la porte (après la bulle), j'écris le plein, l'expression complétée. Cela permet de garantir que je n'oublie pas un bar complètent dans la sous-expression, en me forçant à diviser la tâche expression écrite en deux étapes:

Enfin, nous écrire une expression (ou une paire d'expressions) pour la dernière porte NOR:

Maintenant, nous réduisons cette expression en utilisant les identités, les propriétés, les règles, et les théorèmes (DeMorgan's) de l'algèbre booléenne:

Le circuit porte ***** ALENT pour l'expression de cette très simplifiée est la suivante:

* EXAMEN
Théorèmes * DeMorgan décrivent les lence ***** entre les portes d'entrées inversées et les portes avec les sorties inversées. Bref, une porte NAND est ***** ALENT à une porte OU-négative, et une porte NOR est ***** ALENT à un négatif, et la porte.
* Lorsque "casser" un bar de complémentation dans une expression booléenne, l'opération directement sous la pause (addition ou multiplication) des revers, et les morceaux brisés bar reste sur la durée respective.
* Il est souvent plus facile d'aborder un problème en brisant la plus longue (supérieure) bar avant de rompre toutes les barres en dessous. Il ne faut jamais tenter de briser deux barres en une seule étape!
* Bars complémentation fonction de groupement des symboles.