طلب مساعدة في الجبر

[أريج93]

السلام عليكم أرجو المساعدة في حل هدا التمرين:-): soit f E>E endomorphisme montre on a l'*****alence:
*F inj<>ker f={0e}
*Image d'une base famille{ei} libre est une famille libre de E
*{ei}génératrice de E alors {f(ei)}est generatrice de f(E)

[ف.عبدالحق]

Ce sont des résultats classiques
par exemple pour le premier

on suppose Ker_f = {0} et on montre que f est injectif :
soient x, y € E tels que
f(x)=f(y) aors f(x)-f(y)=0 donc f(x-y) = 0 (car f est lineaire) par suite
x-y€ Ker_f
i.e x-y=0
i.e
x=y
ce qui montre que f est injectif.

On suppose f injectif.
Soit x€Ker_f
Il faut montrer que x=0
Or x€Ker_f signifie
f(x)=0
mais on sait que f est lineaire et que donc f(0)=0
par suite
f(x)=f(0) et comme f est injectif
on en déduit que x=0