مسيرة سنة : تمارين قوية في : النهايات+المتتاليات+معادلات

مُسافر · 2012-07-24, 04:25

السلام عليكم

سنبدأ على بركة الله بمسيرة تمتد على مدار سنة ان كنا من الاحياء وايضا ان وفقنا .

سنضع تمارين على النهايات و المتتاليات و المعادلات

1-بالنسبة للنهايات : سنضع تمارين تكون بايجاد نهاية لمختلف الدوال مثل : المثلثية, الناطقة , اللوغاريتمية....الخ

وهنا سوف انوه على امر وهو انه يمنع استعمال لوبيتال وايضا منشور ماكلورين

بسبب انه هناك من لايعرفهما وايضا اننا سوف نتقيد بمايوجد في مقرر السنة الثالثة

2-اما بالنسبة للمتتاليات : ستكون التمارين عن ايجاد عبارة الحد العام لها لاغير

نعتمد هنا على التخمين ثم البرهان على صحتها باستعمال البرهان بالتراجع.

3-بالنسبة للمعادلات : تكون متنوعة مثلا جمل بعدة مجاهيل, معادلة بمجهول واحد ...الخ

اتمنى التفاعل في الموضوع و حظ موفق للجميع .

مُسافر · 2012-07-24, 04:30

طريقة وضع التمارين هي :

كل من يجيب على سؤال ويكون جوابه صحيح

يقوم بوضع سؤال جديد (لانعترف بكلمة لااملك تمرين) ويكون يتضمن خد الثلاث فروع التي ذكرتهما فوق (يعني اما احسب نهاية دالة او اوجد عبارة الحد العام لمتتالية او حل معادلة ما او نظام بعدة مجاهيل )

التمرين الاول:

اوجد نهاية الدالة :

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-sin(x)}{1-cos(x)}$

تعديل : مع العلم أن نهايتها موجودة و منتهية

بالتوفيق

هـارون · 2012-07-24, 12:52

السلام عليكم

$\\ \frac{x-\sin(x)}{1-\cos(x)}=\frac{x-\sin(x)}{x^2}\times (\frac{1-\cos(x)}{x^2})^{-1}\\ \\ \\ A=\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin(x)}{1-\cos(x)}\\ \\ \\ D=\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin(x)}{x^2}\\ \\ \\ T=\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} \\ \\ \\ \Leftrightarrow A=\frac{D}{T}\\ \\$

$D=\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin(x)}{x^2}\\ \\ x=3y\ \ \ : \ \ D= \lim_{y\to 0} \frac{3y-\sin(3y)}{9y^2}=\lim_{x\to 0}\frac{3y-3\sin(y)+4\sin^3(y)}{9y^2}\\ \\ \\ D=\lim_{y\to 0}\frac{1}{3}\times \frac{y-\sin(y)}{y^2}+\frac{4\sin^3(y)}{9y^2}\\ \\ D=\lim_{y\to 0}\frac{D}{3}+\frac{4\sin(y)}{9}\times (\frac{\sin(y)}{y})^2\\ \\ {\color{red}But\ \ :}\ \ \lim_{y\to 0} \frac{\sin(y)}{y}=1\\ \\ \frac{2D}{3}=\lim_{y\to 0}\frac{4\sin(y)}{9}\times \lim_{y\to 0} (\frac{\sin(y)}{y})^2=0\times 1\\ \\ D=0$

$\\ T=\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}\\ \\ \\ T=\lim_{y\to 0} \frac{1-\cos(y)}{9y^2}+\frac{4\cos(y)-4\cos^3(y)}{9y^2}\\ \\ T=\frac{T}{9}+\lim_{y\to 0} \frac{4\cos(y)}{9}\times \frac{1-\cos^2(y)}{y^2}\\ \\ \frac{8T}{9}=\lim_{y\to 0}\frac{4\cos(y)}{9}\times \lim_{y\to 0} (\frac{\sin(y)}{y})^2=\frac{4}{9}\\ \\ \frac{8y}{9}=\frac{4}{9} \Rightarrow T= \frac{1}{2}\\ \\$

تمريني عبارة عن نظام معادلات :

$\begin{cases}a+b+c=1\\ \\ a^2+b^2+c^2=2\\ \\ a^4+b^4+c^4=3 \end{cases}$

مُسافر · 2012-07-24, 13:55

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مبتدئ الرياضيات

السلام عليكم

وعليكم السلام

حل صحيح (نفس حلي تماما)

اقتباس:

تمريني عبارة عن نظام معادلات :

$\begin{cases}a+b+c=1\\ \\ a^2+b^2+c^2=2\\ \\ a^4+b^4+c^4=3 \end{cases}$

تم حل تمرينك سأَضع الحل فور توفر الوقت لكتابته باللاتكس

مُسافر · 2012-07-24, 17:35

نفرض ان a b c هي جدور لمعادلة من الدرجة الثالثة

منه سيكون لدينا

لنحل المعادلة من الدرجة الثالثة نستعمل قانون كاردان لكني لن استعمله هنا بسبب انه غير مقرر في برنامج سنة ثالثة

فلنحلها بالتحليل

مُسافر · 2012-07-24, 18:28

التمرين الثالث :

اذا كان لدينا

$p(x)=x^6-x^5-x^3-x^2-x \\ \\ and \\ \\ q(x)=x^4-x^3-x^2-1$

و $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ جذور لـ $q(x)$

اوجد : $p(z_{1})+p(z_{2})+p(z_{3})+p(z_{4})$

هـارون · 2012-07-25, 13:46

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة energie19

التمرين الثالث :

اذا كان لدينا

$p(x)=x^6-x^5-x^3-x^2-x \\ \\ and \\ \\ q(x)=x^4-x^3-x^2-1$

و $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ جذور لـ $q(x)$

اوجد : $p(z_{1})+p(z_{2})+p(z_{3})+p(z_{4})$

الجزء الأول :

$P(x)=x^6 -x^5 -x^3-x^2-x \\ \\ P(x)=(x^6-x^5-x^4-x^2)+(x^4-x^3-x^2-1)+(x^2 -x +1) \\ \\ P(x)=Q(x)(x^2+1)+x^2-x+1\\ \\ \\ Q(z_1)=Q(z_2)=Q(z_3)=Q(z_4)={\color{blue}0} \\ \\ \\ \sum_{n=1}^{4}P(z_n)=\sum_{n=1}^4 z_n^2-z_n+1 \\ \\ \\$

تفاديا للازعاج و لضيق الوقت سأكتب a,b,c,d بدل z :

$\\ Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\\ \\ \\ Q(x)=x^4-(a+b+c+d)x^3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x^2-(acd+.....)x-abcd \\ \\ \\ \begin{cases}u=a+b+c+d=1 \\ \\ w=ab+ac+ad+bc+bd+cd=-1 \\ \\ \end{cases}\\ \\ \\ a^2+b^2 +c^2 +d^2 =u^2-2w =3 \\ \\$

و أخيرا :

$\\ P(a)+P(b)+P(c)+P(d)=(a^2+b^2+c^2+d^2)-(a+b+c+d)+4 \\ \\ \\ P(a)+P(b)+P(c)+P(c)= 3-1+4 = \color{red}6$

هـارون · 2012-07-25, 13:53

تمريني بسيط للغاية لذا أنتظر منك يا إسلام ألا تضع الحل مباشرة ( اترك 24 ساعة ) عسى أن ينضم لنا أحد ما

حل في مجموعة الأعداد الصحيحة المعادلة التالية :

$(x^2+1)(y^2+1)-2(x-y)(1-xy)=4(1+xy)$

التمرين رغم بساطته فيه فكرة جميلة لذا تشرفنا اطلالتكم و محاولتكم (سأكون غائبا لكن أستاذي اسلام دائما هنا )

مُسافر · 2012-07-25, 16:16

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مبتدئ الرياضيات

تمريني بسيط للغاية لذا أنتظر منك يا إسلام ألا تضع الحل مباشرة ( اترك 24 ساعة ) عسى أن ينضم لنا أحد ما

حل في مجموعة الأعداد الصحيحة المعادلة التالية :

$(x^2+1)(y^2+1)-2(x-y)(1-xy)=4(1+xy)$

التمرين رغم بساطته فيه فكرة جميلة لذا تشرفنا اطلالتكم و محاولتكم (سأكون غائبا لكن أستاذي اسلام دائما هنا

)

تم الحل بعون الله .

تحت امرك (بعد24ساعة ان شاء الله) ان لم يأتنا احد بالغنيمة :d

جزائرية اصيلة · 2012-07-25, 16:45

شكرااااااااااااا لكم
الله يوفقكم

أم الشهداء · 2012-07-25, 18:14

السلام عليكم ورحمة الله

فقط بودي أن أسألك ,, في أي مستوى دراسي أنتما الآن لأنه وبصراحة أراكما متمكنان كثيرا من الرياضيات

ــ لي عودة للموضوع
بالتوفيق
و السلامــ

mohamedi mohamed · 2012-07-25, 19:27

بالعين المجردة ومن الطرف الايسر يتضح الحل

مُسافر · 2012-07-25, 21:50

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mohamedi mohamed

بالعين المجردة ومن الطرف الايسر يتضح الحل

توجد طريقة اخرى للحل (سأحاول وضعها لاحقا)

بخصوص تمرينك (اظنه خرج عن اساس الموضوع) ===لابأس سنصنفه تحت النهايات

لكنه يحتاج الى توضيح اكثر

مثلا : هل الدالة f تكون اصغر من 1/2 فقط في في مجال 0الى 2 ؟

يعني هل يتم دراسة f على المجال 0 الى 2 فقط؟

وشكرا

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة أم الشهداء

السلام عليكم ورحمة الله

فقط بودي أن أسألك ,, في أي مستوى دراسي أنتما الآن لأنه وبصراحة أراكما متمكنان كثيرا من الرياضيات

ــ لي عودة للموضوع
بالتوفيق
و السلامــ

حياك الله اختي

اصحاب بكالوريا 2013 ان كنا من الاحياء

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

نتمى رؤية مشاركاتك لنستفيد منها(هدف الموضوع)

وشكرا

مُسافر · 2012-07-26, 01:56

طريقة ثانية لحل التمرين
$x^2y^2+x^2+y^2-3-2x-2xy^2+2x^2y+2y-2xy^2-4xy=0 \\ \\ (1+2y+y^2)x^2-2(y^2+2y+1)x+(y^2-3+2y)=0 \\ \\ (1+y)^2x^2-2(y+1)^2x+(y+3)(y-1)=0 \\ \\ \Delta =4(y+1)^4-4(y+1)^2(y+3)(y-1)=16(y+1)^2\geq 0 \\ \\ so: \\ \\ x=\frac{2(y+1)^2\pm 4\begin{vmatrix} y+1 \end{vmatrix}}{2(y+1)^2}=1\pm \frac{2}{y+1}\Rightarrow y\neq -1 \\ \\ y+1=2\Rightarrow y=1\begin{cases} & x=0 \\ & x=2 \end{cases} \\ \\ \\ y+1=1\Rightarrow y=0\begin{cases} & x=-1 \\ & x=3 \end{cases} \\ \\ \\ y+1=-2\Rightarrow y=-3\begin{cases} & x=0 \\ & x=2 \end{cases} \\ \\ \\ y+1=-1\Rightarrow y=-2\begin{cases} & x=-1 \\ & x=3 \end{cases}$

مُسافر · 2012-07-26, 02:05

التمرين الخامس

نهاية بسيطة

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{ x-2}{2^x-x^2}$