سؤال

[ورد الاوليف]

السلام عليكم رجاءا كيف نثبت بالبرهان بالتراجع ان المتتالية ثابتة

:d

[ندوشةة]

مثلا اثبات ان un=1
تجيبي u(n+1) و تبسطي نورمال حتى تلقاي نفس العدد 1

[bouss2013]

السلام عليكم


طريقة اولى

لاثبات بالبرهان بالتراجع ان المتتالية Un ثابتة نبرهن ان :Un+1=Un

نضع P (n ) :Un+1=Un

1/ نتاكد من صحة الخاصية من اجل اصغر قيمة ل n

مثلا لو يكون n ينتمي الى N فان اصغر قيمة ل n هي 0 بالتالي نتاكد ان U1=U0 فنقول ان ( P (0 صحيحة

لو يكون n ينتمي الى *N فان اصغر قيمة ل n هي 1 بالتالي نتاكد ان U2=U1 فنقول ان ( P (1 صحيحة

2/ نفرض ( P (n صحيحة ونبرهن ان (1+P (n اي ان 1+Un+2=Un

ننطلق من الفرضية ان Un+1=Un ونثبت ان 1+Un+2=Un بالتالي (1+P (n صحيحة
منه باستعمال البرهان بالتراجع فان Un+1=Un بالتالي Un ثابتة

وعليه نستنتج ان Un=U0 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 0

او Un=U1 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 1


طريقة ثانية

Un ثابتة معناه Un+1 =Un=...=U0 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 0

Un+1 =Un=...=U1 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 1

وبمان قيمة U0 او U1 تكون معلومة فانه يكفي برهان ان Un=U0 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 0 او Un+1 =U1 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 1

بالتالي نضع P (n ) :Un=U0 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 0 او P (n ) :Un=U1 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 1

1/ نتاكد من صحة الخاصية من اجل اصغر قيمة ل n

مثلا لو يكون n ينتمي الى N فان اصغر قيمة ل n هي 0 بالتالي نتاكد ان U0=U0 فنقول ان ( P (0 صحيحة

لو يكون n ينتمي الى *N فان اصغر قيمة ل n هي 1 بالتالي نتاكد ان U1=U1 فنقول ان ( P (1 صحيحة

2/ نفرض ( P (n صحيحة ونبرهن ان (1+P (n اي ان Un+1=U0 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 0 او ان Un+1=U1 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 1صحيحة
منه باستعمال البرهان بالتراجع فان Un=U0 او Un=U1 بالتالي Un ثابتة