أنا عندي ليسانس علوم تجارية تخصص محاسبة وقد سجلت للمسابقة وتم قبولي يعني سلك 2500 دج وماتخافش، وماتنساش بليي المسابقة بالفرنسية وهذا نموذج عن التقنيات الكمية Institut de Financement du Développement du Maghreb
Arabe
CONCOURS DE RECRUTEMENT DE LA XXXII
ème
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Dimanche 15 juillet 2012
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Epreuve de Méthodes Quantitatives
Durée : 1h 30
Nombre de pages :02
Exercice 1 : (5 points : 1 point par question)
On considère deux variables X et Y indépendantes pouvant prendre chacune les
valeurs 1, 2, et 3 avec la même probabilité PX x PY y
1
3
pour tout x 1,
2,et 3 et y 1, 2, et 3
1. Calculer les trois probabilités PX Y; PX Y; PX Y.
2. On pose U MaxX, Y qui désigne la valeur maximale de X et de Y
i- Déterminer les valeurs de la variable U
ii- Déterminer la loi de probabilité de U
iii- Calculer EU l’espérance mathématique de U
iv- Déterminer la loi conditionnelle de U sachant X x
Exercice 2 : (5 points:1 point par question )
On considère X1
, X2
, ...,Xn les prix de n biens ayant la même espérance
mathématique: EX1 . EX2 . . . EXn m avec m 0 et la même
variance : VX1 VX2 . . . . VXn 1 et ayant une covariance constante
CovXi
, Xj c pour tout i et j tels que i ≠ j. On pose X
1
n
X1 X2 . . . Xn
1- Calculer l’espérance mathématique de X
2-i- Pour n 3, Déterminer la variance de X en fonction de c
-ii- Pour n quelconque, déterminer la variance de X en fonction de n et de
c
3- Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre Xi
et Xj
pour i ≠ j.
4- En déduire l’ensemble des valeurs possibles de la variance de X .
Exercice 3 : (10 points: 1 point par question )
Le niveau des exportations à la période t, noté yt, évolue en fonction du
prix unitaire xt
selon la relation suivante :
yt a xt b t c ut
pour t 1, 2, . . . , T
avec ut
des termes d’erreur indépendants suivant la loi normale tels que
Eut 0; Varut
2
Question 1 :
On suppose dans cette question que b 0
Sachant que T 11, y
1
T
∑
t1
tT
yt 13. 45 x
1
T
∑
t1
tT
xt 6
et
1
T
∑
t1
tT
yt − y
2
37. 15
1
T
∑
t1
tT
xt − x
2
10;
et
1
T
∑
t1
tT
xt − x yt − y −18. 90
i- Quelles sont les expressions et les valeurs des estimations de a et c
par la méthode des moindres carrés ordinaires ?
ii- Quelles sont les interprétations économiques des résultats obtenus ?
iii-Prouver que la somme des carrés des résidus est approximativement
égale à 15.6
iv- En déduire la valeur du coefficient de détermination R
2
. Interpréter
v-Quelle est l’estimation sans biais de
2
? justifier votre réponse
vi- Tester au niveau de 95 % la significativité de la variable xt
On rappelle que pour une loi normale centrée réduite N0, 1
Probabilité −2 ≤ N0, 1 ≤ 2 0. 95
Question 2 :
On suppose dans cette question que seul le coefficient a est nul : a 0 et
que
2
1
vii- Calculer pour T entier positif quelconque la valeur de ∑
t1
tT
t − t
2
où
t
1
T
∑
t1
tT
t
Indication: On rappelle que ∑
t1
tT
t
TT 1
2
;
∑
t1
tT
t
2
TT 12T 1
6
viii-Calculer la variance de l’estimation de b obtenue par les moindres
carrés ordinaires
Question 3:
Dans cette question, on suppose que les deux coefficients a et b sont
différents de zéro avec
2
1.
ix- Prouver que Δyt yt − yt−1 est relié à Δxt xt − xt−1 avec un terme
d’erreur t
dont il faut calculer l’espérance, la variance et les covariances
x- Expliquer comment on peut estimer d’une manière optimale les deux
paramètres a et b
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