دعنا نتفق

[لينة71]

اليكم هدا التمرين
نعتبر متتاليتان العدديتان (ي ن) و 'ح ن) المعرفتان كمايلي
ي0=1 ومهما يكن ينتمي الى ط ي ن+1 =2 ي ن في ح ن / ي ن +ح ن
ح0=2 ومهما يكن ن ينتمي الى ط ح ن+1 =ي ن+ح ن/2
1- برهن بطرقة التراجع ان مهما يكن نتنتمي الى ط ي ن اكبر تماما من0 وح ن اكبر تماما من0
2-الف ن متتالية عددية معرفة حيث مهما يكن ن تنتمي الى ط افا ن= ح ن- ي ن
- بين ان الفا ن+1=( الفا ن) مربع/ 2(ي ن+ ح ن)
ثم اثبت بطريقة التراجع ان مهما يكن نتنتمي الىط الفا ن اكبر من تساوي 0
3- تحقق ان الفا ن+1 اقل من تيساوي 1/2 الفا ن
ثم اثبت ان مهما يكن نتنتمي الى ط الفا ن اقل من تساوي 1/2اس ن
4-اثبت ان ي ن متتالية متزايدة ح نمتتالية متناقصة
استنتج ان كل من التتاليتين ي ن وح ن لهما نفس النهايةل لما ن تؤول الى + مالانهاية
5-بين بطريقة التراجع ان مهما يكن ن تنتمي الى ط ي ن في ح ن=2.
6-احسب ي4 وح4 ثم احسب العدد ل
ستنتج جصرا للعدد جدر2
السلام عليكم
اليكم الحل المختصر
2 نبين ان مهما يكن ن ينتمي الىط الفا ن =الف ن الكل مربع/2(ح ن+ي ن) نجدها محققة
ونثبت ان الف ن > 0
لما ن=0 الف 0=1 > 0 محققة
نفرض الف ن > 0 ونبرهن ان الفا ن+1 > 0
لدينا الفا ن> 0اي (الفا ن) مربع > 0 وي ن + ح ن > 0 اي (الفا ن)مربع /2( ي ن + ح ن) > 0ومنه الفا ن+1 > 0
وهو المطلوب
3-التحقق ... ح ن- ي ن اقل من او يساوي ح ن + ي ن تكافئ ح ن- ي ن/ ح ن+ي ن اقل من او بساوي 1
نضرب طرفي المساواة في 1/2 نجد الفا ن/2(ح ن+ ي ن)اقل من او يساوي 1/2 نضرب طرفي المتراجحة في
الفا ن نجد الفا ن مربع /2(ح ن+ ي ن)اقل من او يساوي 1/2 الفا ن اي الفا ن+1 اقل من او يساوي 1/2 الفا ن