المتتاليا الهندسية

[الفلاح المحترف]

ما تم التعرف عليه في الجزء الاول من الدرس كان يخص متتالية هندسية حدها الاول U0 أي معرفة على N
ولكن ماذا لو كانت المتتالية معرفة على N* أي N ما عدا 0 ؟؟
نتبع هذه الطريقة لاستنتاج الحد العام لها :
U1
U2 = u1 * q
U3 = u2 * q = u1*q*q = u1 * q^2
U4 = u3 *q = u1*q^2*q = u1*q^3

ومنه نلاحظ
Un = u1 * q^n-1
عبارة الحد العام لمتتالية هندسية حدها الاول U1 تعطى بالشكل Un = u1 * q^n-1
مثال :
Un متتالية هندسية حدها الاول u1 = 3 والاساس q= 2
احسب الحدود u3 . u5 . u7
الحل :
لدينا عبارة الحد العام Un = u1 * q^n-1
U3 =u1*q^3-1
U3= 3*2^2
U3= 3*4=12
U5= 3*q^5-1
U5=3*2^4
U5= 3*16
U5=48
اي مسالة تعويض فقط
بصفــــــــــــــــة عامة :
العلاقة بين حدين في متتالية هندسية
Un = Up * q^n-p طبعا n أكبر من p

حسنا القانون غير واضح سيتضح بعد هذا المثال :
نفرض Un متتالية هندسية معرفة على N حيث U5 = 64 وq = 2
احسب u7
حل المثال
نستطيع حل هذا المثال بطريقتين
ط1 : باستعمال عبارة الحد العام من خلالها نجد الحد الاول U0 ثم من خلاله نحسب الحد U7
ولكنها طريقة طويلة وتاخذ وقتا وعليه نستعمل :
ط2 : نستعمل العلاقة بين حدود متتالية هندسية
Un = Up * q^n-p
U7= u5 * 2 ^7-5
U7 = 64*2^2
U7 =64*4
U7 = 256
نحن الان نتوغل في الدرس شيئا فشيئا وعليه يجب معرفة أهم شيئ وهو :
اثبات ان متتالية هندسية
لاثبات ان متتالية ما هندسية يجب أن نثبت أن
Un+1 / Un = q
مثلا :
Un= 1/2^n لا نعرف في هذه المتتالية لا الحد الاول ولا الاساس ولا حتى نوعها ح/هـ
اثبت ان هذه المتتالية هندسية
الحل :
لاثبات ذلك يجب ان نثبت أن Un+1 / Un = q
نحسب Un+1
Un+1 = 1/2^n+1
أي نعوض كل n بــ n+1
Un+1 = 1/2^n*2^1
أي قواعد الاس
نكمل :
Un+1 = 1/2^n*2
Un+1/Un = 1/2^n*2 / 1/2^n
نختزل 2^n مع 2^n
يبقى un+1/un = 1/2
q =1/2 ومنه un متتالية هندسية اساسها q=1/2
وحدها الاول u0 = 1/2^0 = 1/1 = 1

لنضع الان النقاط على الحروف
عرفنا كيفية اثبات ان متتالية هندسية
عرفنا عبارة الحد العام لمتتالية حدها الاول U0
عرفنا عبارة الحد العام لمتتالية حدها الاول U1
عرفنا العلاقة بين حدين في متتالية هندسية