المتتاليا الهندسية

[الفلاح المحترف]

عرفنا من قبل المتتاليات الحسابية والسر الذي تقوم عليه بسيط وهو ان كل حد يساوي الحد الذي قبله + عدد معين والمسمى الاساس ورمزه r
في المتتالية الهندسية كل حد يساوي الحد الذي قبله ضرب عدد معين وهو الاساس ورمزه q
مثلا :
اليك هذه السلسلة
1 . 3 . 9 . 27 . 81 . 243
نضع :
U0 = 1
U1 = 3
U2 = 9
U3 = 27
نلاحظ أن :
U1 = u0 * 3 = 3
U2 = u1 * 3 = 9
U3 = u2 * 3 = 27
وهكذا ....
بالتعريف :
نقول عن متتالية un أنها متتالية هندسية حدها الاول u0 اذا وجد عدد حقيقي q حيث
Un+1 = un * q أي : أي حد يساوي الحد الذي قبله * الأساس
ومنه نستنتج أن q = un+1 / un
ففي المثال السابق 1.3.9.27.81.243 هي حدود متتالية هندسية
حدها الاول u0 = 1
اساسها q = 3
والان يتبادر الينا سؤال : ماذا لو عرفنا الحد الاول ونريد حساب الحد العاشر مثلا ؟ هل يجب حساب الحدودu1 ثم u2 ثم u3 الى غاية u10 ؟ لا لهذا وجدت عبارة الحد العام
وهي تمكننا من حساب أي حد بدلالة الحد الاول
ونكتب :
Un = u0 * q^n
أي قيمة أي حد = قيمة الحد الاول * ( الاساس أس n )
مثلا :
نعتبر ان un متتالية هندسية حدها الاول u0 = 2 والاساس q = 3
احسب الحدود u5 . u7 . u9
الحل :
باستعمال عبارة الحد العام لسنا مضطرين الى حساب u1 ثم u2 ثم ....
لدينا Un = u0 * q^n
U5 = u0 * 2^5
U5 = 2 * 32
U5 = 64
وكذلك نكمل حل بقية الامثلة
ملاحظة 1:
اذا كان الاساس q= 1 فان جميع حدود متساوية u0 = u1 = u2 = u3= …..= un
لماذا؟ لنفرض u0 = 2 والاساس q=1
U1 = u0*1^1 = 2 وبالمثل بالنسبة لجميع الحدود - كما نعلم في خواص القوى 1 ^ اي عدد = 1 -
ملاحظة 2 :
اذا كان الاساس معدوما q= 0 فان جميع حدود المتتالية معدومة ماعدا ..... الحد الاول u0
لماذا؟ لنفرض u0 = 3 والاساس معدوم q=0
U3 = u0*q^3 = 2*0^3 = 0 وبالمثل بالسنية لجميع الحدود

تمرين
Un متتالية هندسية
حدها الاول u0 = 3 والاساس q = 2
احسب الحدود u5 . u10 . u 3

حسنا هذا يكفي الان
لقد حاولت تقسيم الدرس الى عدة اجزاء ليتسم بالوضوح
مازال في الدرس الكثير الكثير