تمرين رائع في الرياضيات لمن يريد حله....

Raouf-Barcelona · 2013-10-20, 16:24

لدينا :

$ab = \frac{1}{12}$

$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 25$

من العبارة الأولى نستنتج أن

$a = \frac{1}{12b}$

نعوض في العبارة الثانية فنجد :

$\frac{1}{(\frac{1}{12b})^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 25$

$144b^{2} + \frac{1}{b^{2}} = 25......$

$\frac{144b^{4} +1}{b^{2}} = 25$

$144b^{4} +1 = 25b^{2}$

$144b^{4} -25b^{2} +1 = 0$

بوضع : B = b² لدينا :

$144B^{2} -25B +1 = 0$

بعد حساب المميز نجده : $\Delta = 49$

إذن :

$B_{1} = \frac{1}{16}$ و $B_{2} = \frac{1}{9}$

الآن لدينا حالتين :

الحالة1 : إذا كانت B = 1/16 :

$b^{2} = \frac{1}{16}$

$b_{1} = \frac{1}{4}$ أو $b_{2} = -\frac{1}{4}$

الآن يوجد حالتين أيضا :

إذا كانت $b_{1} = \frac{1}{4}$ فإن :

$a = \frac{1}{12b} = \frac{1}{3}$

أما إذا كانت $b_{2} = -\frac{1}{4}$ فإن :

$a = \frac{1}{12b} = -\frac{1}{3}$

الحالة2: إذا كنات B=1/9 فإن :

$b^{2}=\frac{1}{9}$

$b_{1}=\frac{1}{3}$ أو $b_{2}=-\frac{1}{3}$

الآن يوجد حالتين أيضا هما :

إذا كانت $b_{1}=\frac{1}{3}$ فإن

$a = \frac{1}{12b} = \frac{1}{4}$

أما إذا كانت $b_{2}=-\frac{1}{3}$ فإن :

$a = \frac{1}{12b} = -\frac{1}{4}$

و في اﻷخير نستنتج أنه هناك أربع حلول هما :

$a_{1} = \frac{1}{3}$ $b_{1} = \frac{1}{4}$

$a_{2} = -\frac{1}{3}$ $b_{2} = -\frac{1}{4}$

$a_{3} = \frac{1}{4}$ $b_{3} = \frac{1}{3}$

$a_{4} = -\frac{1}{4}$ $b_{4} = -\frac{1}{3}$