السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
أظن أن الإجابة على سؤالك أخي تكون كالآتي:
لتكن لدينا اشكالية المستهلك التالية:
max U=f(x,y).
S/C R=xpx+ypy
و نستخدام طريقة مضاعف لاغرانج و بالتالي نكتب
L=Ux,y +λ(R-xpx+ypy)
حيث الرمز λ هو مضاعف لاغرانج
و لتعظيم دالة المنفعة لابد من تحقق شرطين
الشرط اللازم: استخراج المشتقات الجزئية للدالة L لكل من المتغيرات x,y,λ و مساواة كل منها بالصفر فيكون لدينا:

ΔL/Δx= f'x+λ(-px)=0.....................1
ΔL/Δy=f'y+λ(-py)=0.....................2
ΔR/Δλ=R-xpx-ypy=0.....................3

من المعادلة 1 يكون لدينا λ=f'x/px
و من المعادلة 2 نجد λ=f'y/py
إذن يمكننا كتابة: 4.........................f'x/px=f'y/py
و نحن نعلم أن f'x=ΔU/Δx=U'x= Umx
و نفس الأمر مع f'y=Umy
و منه و بالرجوع إلى المهادلة 4 و تعويض كل من f'xو f'y
نجد Umx/px=Umy/py
و هو الجواب على سؤالك أخي العزيز mascara

''''مع العلم ان طريقة لاغرانج لاتنتهي هنا بل هناك شرط ثاني و هو الشرط الكافي حيث يجب حساب المحدد الهيسي و يجب أن يكون موجبا في حالة تعظيم المنفعة.''''

و أرجو أن أكون وفقت في الإجابة و الله أعلم.
و السلام عليكم peace be upon you

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
أظن أن الإجابة على سؤالك أخي تكون كالآتي:
لتكن لدينا اشكالية المستهلك التالية:
max U=f(x,y).
S/C R=xpx+ypy
و نستخدام طريقة مضاعف لاغرانج و بالتالي نكتب
L=Ux,y +λ(R-xpx+ypy)
حيث الرمز λ هو مضاعف لاغرانج
و لتعظيم دالة المنفعة لابد من تحقق شرطين
الشرط اللازم: استخراج المشتقات الجزئية للدالة L لكل من المتغيرات x,y,λ و مساواة كل منها بالصفر فيكون لدينا:

ΔL/Δx= f'x+λ(-px)=0.....................1
ΔL/Δy=f'y+λ(-py)=0.....................2
ΔR/Δλ=R-xpx-ypy=0.....................3

من المعادلة 1 يكون لدينا λ=f'x/px
و من المعادلة 2 نجد 4.........................λ=f'y/py
إذن يمكننا كتابة: f'x/px=f'y/py
و نحن نعلم أن f'x=ΔU/Δx=U'x= Umx
و نفس الأمر مع f'y=Umy
و منه و بالرجوع إلى المهادلة 4 و تعويض كل من f'xو f'y
نجد Umx/px=Umy/py
و هو الجواب على سؤالك أخي العزيز mascara

''''مع العلم ان طريقة لاغرانج لاتنتهي هنا بل هناك شرط ثاني و هو الشرط الكافي حيث يجب حساب المحدد الهيسي و يجب أن يكون موجبا في حالة تعظيم المنفعة.''''

و أرجو أن أكون وفقت في الإجابة و الله أعلم.
و السلام عليكم peace be upon you

لا يا أخي الشطر الكافي للتعظيم هو أن يكون المحدد الهيسي سالب أو المشتقات الجزئية الثانية سالبة
أما التدنية وهي عكس التعظيم فالعكس

تحليل جيد ولكن يجب حساب المحددات الجزئية ويجب انعلى الاقل محدد واحد اقل من الصفر والاخرى اكبر من الصفر

بارك الله فيك اخي
و حبذا لو تبين لنا مذا تقصد فانا لم افهم المحددات الجزئية التي تكلمت عنها
و اكون لك من الشاكرين

مشكور جزيلا

بارك اله فيك اخي على التصويب

بارك الله فيك اخي على التصويب

لا ادري كيف تريدون النجاح وانتم تطرحون هذه الاسئلة
البسيطة مع احترامي وارجو ان تكون الاسئلة ذات مستوى
رفيع وافكار جميلة وجديدة وشكرا

نحن نحاول التركيز على المنهجية هنا

تفضل منك نستفيد