السلام عليكم و رحمة الله تعالى و بركاته
نعتبر لدالة f المعرفة على] 0 , + ] بـ
f n(x) = (1 + x ) n -1 – n x
أدرس اتجاه تغير الدالة fn على المجال ]0 , + ]
اثبت صحة متباينة برنولي التالية
من أجل كل x من ] 0 , + ] ومن أجل كل n من N
: (1 + x) n 1 + nx
إجابة
دراسة اتجاه تغير الدالة fnعلى المجال]0 , + ]
f n( 0 ) = (1 ) n -1 = 0
Lim fn(x) = 0
x>0
x 0
Lim fn(x) = lim x n = +
x + x +
) يمكن التحقق من أن lim x n = + باستخدام البرهان
x +
بالتراجع )
حساب fn’(x)
fn تقبل الإشتقاق على المجال ] 0, + ]
fn’(x) = n(1+x)n-1 – n
1 + x 1
(1 + x )n-1 1
n(1 + x )n-1 n
n(1 + x )n-1 – n 0
إذن fn’(x) 0
بالتالي الدالة f متزايدة تماما على المجال] 0, + ]
جدول التغيرات
+ 0 x
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
+ fn'(x)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
+ متزايدة 0 fn(x)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
إثبات صحة متباينة برنولي
من أجل كل x من المجال] 0 , + ]
(1 + x ) n 1 + nx
من جدول التغيرات نستنتج أن:
من أجل كل x من المجال]0 , + ] و من أجل كل عدد طبيعيn :
fn(x) 0
أي
(1 + x ) n -1- nx 0
بالتالي (1 + x ) n 1 + nx
( تقرير عن مشاركة سيئة )، و الموجودة أسفل كل مشاركة .
2011-11-07, 13:28
تطبيق ص 54
العرض العادي
