شرح النهايات

manou002 · 2010-03-15, 22:30

مقدمه :
المقصود بها نهاية دالة عند نقطة أو في فترة، ويمكن التعبير عنها بأنها الاقتراب من نقطة للوصول للنقطة نفسها..
اما اسباب بحثنا للنهاية من جهتي اليمين واليسار هذا عائد لوجود دوال تختلف نهاياتها اليمنى عن اليسرى

مثال لتوضيح معنى النهاية :
اذا كانت x تقترب من العدد 7 فبإمكاننا القول ان الاعداد 7.001، 7.0001، 7.00001 تقترب من 7
وفي نفس الوقت الاعداد 6.99، 6.999، 6.999 تقترب من 7
لكن الاختلاف ان الاعداد الاولى اكبر وتقع يمين العدد 7 وعند البحث عنها نكتب النهاية عند 7+
اما الاعداد الثانيه اقل من العدد 7 وتقع يساره وعند البحث عنها نرمز لها بـ 7- { ونقصد بالسالب يسار العدد وليس الاعداد السالبه }

/
/

واذا كانت نهاية الداله (f(x عندما تقترب x من a هي b فإن الصوره العامه لها هي :

وتتعين النهاية حسب نوع الداله (f(x وهي إما :

1) داله كثيرة حدود ~ بأي درجة والمقصود بكثيرة الحدود بعدم وجود كسر أو أس سالب أو جذر سالب وهي على الصورة :

D = R ... ( مجالها مجموعة الاعداد الحقيقيه )
النهاية / بالتعويض مباشر ..

::::::::::::::::::::

2) دالة نسبية ~ كسر مقامه على الأقل يشتمل على المتغير x , مثال :

D = {أصفار المقام } - R

::::::::::::::::::::

3) دالة جذرية أو نسبيه جذريه ~ ( تشتمل على حداً جذرياً سواء في البسط أو المقام أو كلاهما ) , تأخذ الشكل :
<A href="https://e.imagehost.org/0618/1_36.png" target=_blank>الداله الجذريه
[D = ]+∞,0 ... ( مجالها مجموعة الاعداد الحقيقيه الموجبه )
الداله الجذريه النسبيه
D = {أصفار المقام } - [0, +∞[
( مجالها مجموعة الاعداد الحقيقيه الموجبه عدا اصفار المقام )

::::::::::::::::::::

4) دالة معرفة بقاعدتين ~ وهي أما أن تكون مباشرة مثل :

أو غير مباشرة مثل دالة المقياس(القيمة المطلقة) والتي يجب إعادة تعريفها لتأخذ الصورة المباشرة السابق ذكرها والمقصود بإعادة التعريف حذف المقياس وذلك بالبحث عن قيمة x التي تجعل قيمته تساوي صفر
<A href="https://e.imagehost.org/0012/1_23.png" target=_blank>

أغلب مسائل النهايات تحتوي على الدوال النسبيه التي يكون الناتج فيها عند التعويض المباشر

وهي قيمه غير معرفه

( الحاله الأولى ) اذا كانت x تؤول أو تقترب من عدد ما وليكن a ، فان كان التعويض يعطي صفر / صفر فهذا يعني وجود العامل (x-a) في كل من البسط والمقام , وهناك اربع طرق لايجاد النهاية لهذه الدوال :

1/ التحليل
نحلل الداله بحيث يصبح كل من البسط والمقام يحتوي على العامل (x-a) وبالاختزال والتعويض المباشر نحصل على نهاية الداله

2/ القسمة المطولة
قسمة البسط والمقام على العامل (x-a) ~ لمن لايعرف طريقة التحليل

3/ وضع (x = a + c) حيث عندما a←x فإن o← c
اتوقع انكم ماتستخدمون هالطريقه لكن راح اوضحها في المثال القادم

4/ الاشتقاق
( للتأكد من صحة الحل ولايستخدم في حل المسائل )

.. مثــــــــــــــال ..

××××××××××××××××××

( الحاله الثانيه ) عندما تؤول x إلى ∞ ..
ونعتمد في هذه الحاله على أعلى قوة للمتغير x .. حيث يجرى قسمة كل حدود المقدار بسطاً ومقاماً على المتغير الذي يحمل أعلى قوة فإن كان المقام يساوي الصفر والبسط لا يساوي الصفر فالناتج ∞ وهنا تتواجد ثلاث حالات :

(1) أس أكبر قوة للمتغير في البسط ( أصغر ) من أس أكبر قوة للمتغير في المقام فالنهاية = صفر

××××××××××××××××××
(2) أس اكبر قوة للمتغير في البسط ( يساوي ) أس أكبر قوة للمتغير في المقام فالنهاية = معامل أكبر قوة في البسط على معامل أكبر قوة في المقام