حل جميع تمارين الدوال

[jasmine sarah]

تمارین
1) خاطئ . 2) صحیح . 3) صحیح .
( [0;4] تقبل حلین في f (x) = 4) صحیح (المعادلة 0
5) خاطئ .
1) خاطئ . 2) صحیح . 3) صحیح . 4) صحیح
. [ ; 0 +¥[ معرفة على u 1) صحیح لأن
نفس اتجاه التغیر . g و f 2) صحیح لأن للدالتین
. u (10)Ï[0;9] 3)خاطئ لأن مثلا
4) خاطئ . 5) خاطئ . 6) صحیح .
( f .g)(x) = x(x2 - 2x) (3
. (g o h)(x) = 2x2 + 5 (1
على (Cg ) یقع فوق (Cf ) لأن f ³ g (1
. [-1;2]
. ]- ; 1 +¥[ متزایدة على f (2
(1) 3 (1
2
؛ f (-2) =15 ؛ f (0) = 3 ؛ f = -
( ) 935 3
2
. f = -
. 2) سابقتا العدد 3 ھما 0 و 10
( ) نقوم حل المعادلة 17
2
. و 11 - ذات الحلین 1 f x =
؛ f (0) =1 ؛ f (-1) = 1) بقراءة بیانیا نجد 3
. f (1) = -1
(Cf ) ھي فواصل نقط تقاطع (-1) 2) سوابق العدد
. و 1 - ونقرأ 2 y = - ذي المعادلة 1 (D) مع المستقیم
ھي فواصل نقط تقاطع f (x) = 3) حلول المعادلة 3
( ) f والتي تنتمي y = ذي المعادلة 3 (D ') مع المستقیم C
. [-2;2] إلى المجال
f . D = ¡
f . D = ¡
f . D = ¡
] ;0[ ]0; [ f . D = -¥ È +¥
{4} f . D = ¡ -
] ; 2[ ] 2;2[ ]2; [ f . D = -¥ - È - È +¥
f . D = ¡
{3} f . D = ¡-
x = أو 3 x = - یعني 3 x = 3
. Df = ]-¥;-3[È]-3;3[È] ; 3 +¥[ ومنھ :
[1; [ f . D = +¥
[2;3[ ]3; [ f . D = È +¥
f . D = ¡
f . f ¹ g : ومنھ Dg = [-2;+¥[ ، D = ¡
. f = g
f . f ¹ g : ومنھ Dg = ¡ ، D = ¡*
ومن أجل Df = Dg = [0;1[È] ; 1 +¥[ لدینا
. f = g ومنھ f (x) = g (x) ؛ Df من x كل
. f = g
. f = g
معرفة على f .g و f + g ، g ، f 1) الدوال
. ¡
. ( f + g)(x) = f (x) + g (x) = 2x2 + 2x- 2 (2
( f .g)(x) = x4 + 2x3 - 2x2 + 2x-3
] ; 1[ ] 1; [ (1 f g . D = D = -¥ - È - +¥
(2 3f f . D-2g = Dg ؛ D = D
( f + g)(x) = f (x) + g (x) (1
. ( f + g)(x) = 2(x2 + 2x+1) = 2(x+1)2
. (2 f + g )(x) = (2x+1) 2) لدینا 2
. h : xa 2x+ حیث 1 (2 f + g ) = h إذن 2
تصحیح الشرط " في حالة وجودھا " یحذف من
. السؤال 1 ویضاف إلى السؤال 2
. ( f + g)(x) = f (x) + g (x) (1
( )(1) 3
2
( )(2) 29 ، f + g =
4
، f + g =
( )( 5) 47 5 2
10
. f + g = -
. ومنھ : (3 f )(x) = 3´ f (x)
، (3 f )(2) = 24 ، (3 f )(1) = 9
. (3 f )( 5) =15 5 - 6
( 2g )(x) 2 g (x) 3
x
ومنھ : - = - ´ =
( 2 )(2) 3 ، (-2g )(1) = 3
2
، - g =
( 2 )( 5) 3 5
5
- g =
f ، f .g 2) الدوال
g
1 ،
2
معرفة على ، f - g
ومنھ العددین 1 ]0;+¥[
2
لا تقبل صور . -1 ، -
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
2
3
4
5
6
7
25
26
27
28
29
30
31
4
0 1
1
x
y
( . )(3) 13
2
f (3) 26 ، f g = -
g
æ ö
ç ÷ = -
è ø
،
1 (3) 7
2
æç f - g ö÷ =
è ø
.
ولدینا : ¡ معرفتان على g o f و f o g الدالتان
. ( f o g)(x) = f (g (x)) = -6x
. (g o f )(x) = g ( f (x)) = -6x
ولدینا : ¡ معرفتان على g o f و f o g الدالتان
. ( f o g)(x) = f (g (x)) = 3x -1
. (g o f )(x) = g ( f (x)) = 3x - 7
ولدینا : ¡ معرفتان على g o f و f o g الدالتان
. ( f o g)(x) = 9x2 -12x+ 4
. (g o f )(x) = 2 - 3x2
معرفة على 1 f o g الدالة
2
- ì- ü í ý
î þ
ولدینا : ¡
( )( ) 1
2 1
f g x
x
-
=
+ . o
ولدینا : ¡ -{-1} معرفة على g o f الدالة
( )( ) 2
1
g f x
x
-
=
+ . o
ومنھ ]-¥ ;- 2]È[ ; 0 + ¥[ معرفة على f الدالة
و ( 1 3 2 x ¹ معرفة إذا كان 0 f o g الدالة
x
- £ -
أو 1 3 0
x
] ;0[ 0; 1 [ ; 1 [ ) أي - ³
3
xÎ -¥ È úù úù È + ¥ û û
( )( ) ولدینا : 2
1 4 3 f g x
x x
o = - +
معرفة إذا كانت g o f ومنھ الدالة ¡* معرفة على g الدالة
xÎ]-¥;- 2[È] ; 0 + ¥[ أي f (x) ¹ معرفة و 0 f
( )( ) ولدینا :
2
1 3
2
g f x
x x
= -
+
. o
x و لدینا من أجل كل ¡ معرفة على k 1) الدالة
(h o g)(x) = x2 +1 = k(x) : ¡ من
و لدینا ¡ معرفتان على (g o h) و ( f + k) 2) الدالتان
( f + k)(x) = x2 + 2x + : 1 ¡ من x من أجل كل
(g o h)(x) = (x +1)2 = x2 + 2x +1
f + k = g o h : و منھ
. ( 5) و 6 ، (4 ، ( بنفس الطریقة نثبت صحة 3
v(x) = x - و 1 u(x) = x حیث 2 f = u o v
v(x) = x + و 2 u(x) = x2 + حیث 1 f = u o v
u(x) حیث 3 f = u o v
x
.v(x) = x + و 1 =
.v(x) = x + و 1 u(x) = x حیث f = u o v
.v(x) = x - و 1 u(x) = cos x حیث f = u o v
( ) و 2 1 u(x) = x حیث f = u o v
5
. v x = x -
( f + g)(x) = x2 + x : I من x لدینا من أجل كل
x1 < x حیث 2 I عددان من x و 2 x لیكن 1
إذن 2 2
1 2 و بالتالي 2 2 x < x
1 1 2 2 x + x < x + x
( f + g)(x1) < ( f + g)(x أي ( 2
. I متزایدة تماما على ( f + g) إذن
x1 < x حیث 2 ]-¥ 0; ] عددان من x و 2 x لیكن 1
إذن 2 2
1 2 x1 > x و 2 x > x
و بالتالي 2 2
1 1 2 2 x + x > x + x
. ]-¥;0] متناقصة تماما على f إذن
[ ; 0 +¥[ متزایدة تماما على xa x الدالة
x و الدالة 1
x
[ ; 0 +¥[ متزایدة تماما على a -
x x و بالتالي الدالة 1
x
.[ ; 0 +¥[ متزایدة تماما على a -
: ]-¥;3] من x حیث من أجل كل f = u o v (1
. u(x) = x :¡+ من x و من أجل كل v(x) = 3 - x
نفس اتجاه التغیر فإن الدالة v و u 2) بما أن لیس للدالتین
. ]-¥;3] متناقصة تماما على u o v
. ]-¥;3[ و منھ ھي كذلك متناقصة تماما على
ب : ¡ معرفتان على g و f
g(x) = (x - 2)2 - و 1 f (x) = (x - 2)2
(1 h D = ¡*
المنحني الثاني ممثل ؛ g 2) المنحني الأول ممثل للدالة
. h یبقى المنحني الثالث ممثل للدالة ؛ f للدالة
، ]-¥;0[ لھما تفس اتجاه التغیر على g و f 3) الدالتان
. ]-¥;0[ متزایدة تماما على h إذن الدالة
، ] ; 0 +¥[ تفس اتجاه التغیر على g و f لیس للدالتین ·
. ] ; 0 +¥[ متناقصة تماما على h إذن
(C) نظیر g – منحني الدالة
بالنسبة لمحور الفواصل
(C) ینطبق على h - منحني الدالة
و یكون ]-¥ 0; ]U[ ; 2 +¥[ في
بالنسبة لمحور الفواصل (C) نظیر
.[0;2] في
ھو صورة k - منحني الدالة ·
32
34
36
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
33
35
37
5
i + 3 j بالانسحاب الذي شعاعھ (C)
r r
.
b = و 2 a = 1 (1
x -¥ +¥ (2
x3
f (x) = (x -1)3 + 3) لدینا 2
¡ متزایدتان تماما على xa x و 3 xa x - الدالتان 1
¡ متزایدة تماما على u : xa(x -1) و منھ الدالة 3
.¡ متزایدة تماما على (u + (مركب دالتین). إذن الدالة ( 2
x -¥ +¥
f (x)
بالانسحاب xa x ھو صورة منحني الدالة 3 (C) (4
i + 2 j الذي شعاعھ
r r
.
من x و لدینا من أجل كل ¡ معرفة على f الدالة 1
: [0;+¥[ 1دالة زوجیة f و الدالة 1 f (x) = f (x)
(C) ینطبق على [ ; 0 +¥[ في المجال (Cf1 ) إذن جزء
ھو نظیر ]-¥ 0; ] في المجال (Cf1 ) في ھذا المجال و جزء
بالنسبة إلى محور التراتیب (Cf1 ) الجزء السابق من
¡ معرفة على f لدالة 2
ینطبق (Cf2 ) من فوق محور الفواصل فإن (C) إذا كان
من تحت محور الفواصل فإن (C) و إذا كان (C) على
( ) f2 بالنسبة إلى محور الفواصل. (C) نظیر C
إذن -xÎ[0;3] ومنھ xÎ[-3;0] 1) لیكن
f (-x) = f (x) علما أن ، f (-x) = -x +1
. f (x) = -x + فإن 1
(2
. f (x) = x +1 ؛ xÎ[-3;3] ملاحظة من أجل كل
x -4 -3 -1 0 1 3 4
1 2 0
0
0 -2 1
f (x)
. c = و 10 b = -5 ، a = -1 (1
( ) ( 5) 10 (2
2
f x x
x
- - - =
-
x -¥ 2 +¥
+ -
10
2 - x
( ) f فوق المستقیم الوضعیة (Cf ) تحت المستقیم C
¡-{-2} معرفة على f : تصحیح
1) قواعد تغییر المعلم :
2
1
x X
y Y
= - ì
í
î = -
(A;i ; j) في المعلم (Cf ) معادلة
r r
عي :
X2 1 Y
X
-
=
2) الرسم
. (Cf ) مركز تناظر للمنحني A (3
. (C) محور تناظر ل éë(D) : x =1ùû لنبین أن
في المعلم (C) معادلة . A(1;0) لتكن مثلا النقطة
(A;i ; j)
r r
ھي
2
2
Y X 2
X
+
. =
الدالة
2
2
g : x x 2
x
+
éë(D) : x =1ùû زوجیة ومنھ a
محور تناظر .
( ) 3
2
f x x
x
=- +
-
من x و 2 x . من أجل كل 1
لدینا : x1 < x حیث 2 ]-¥ 0; [
1 2
1 2
3 3
2 2
x x
x x
- > - ì
ï
í
ï > î - -
ومنھ :
1 2
1 2
3 3
2 2
x x
x x
- + >- +
- -
f (x1 ) > f (x2 ) أي
. ]-¥;0[ متناقصة تماما على f وبالتالي
. ] ; 0 +¥[ متزایدة تماما على f
. ]0;2[ متزایدة تماما على f
. ] ; 0 +¥[ متزایدة تماما على f
. ]-¥;- 3[ متناقصة تماما على f
g والدالة [ ; 0 +¥[ متزایدة تماما على f 1) الدالة
. [ ; 0 +¥[ متناقصة تماما على
53
-3 -2 -1 2 3
2
3
4
0 1
1
x
y
54
56
57
58
59
60
61
62
63
51
52
55
6
. h(x) = -x ب [ ; 0 +¥[ معرفة على h 2) الدالة
. [ ; 0 +¥[ متناقصة تماما على h الدالة
x -¥ 0 +¥
2
g (x)
x -¥ 0 +¥
h(x)
x1 < x حیث 2 ]-¥ 0; [ من x و 2 x 2) من أجل كل عددین 1
لدینا
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
g x g x
h x h x
ì > ï
í > ïî
ومنھ :
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 أي : g x + h x > g x + h x
( ) ( ) 1 2 ]-¥;0[ متناقصة تاما على f وبالتالي f x > f x
x1 < x حیث 2 ] ; 0 ¥[ من x و 2 x 3) من أجل كل عددین 1
لدینا
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
g x g x
h x h x
ì < ï
í > ïî
، لا یمكن المقارنة بین
( ) ( ) 1 1 g (x2 ) + h(x2 ) و g x + h x
x1 < x حیث 2 [ ; 0 +¥[ عددین من x و 2 x 1) لیكن 1
لدینا :
2 2
1 2
1 2
0 1 1
0
x x
x x
ì < + < + ï
í
îï < <
ومنھ
( 2 ) ( 2 )
1 1 2 2 . f (x1 ) < f (x2 ) أي x +1 x < x +1 x
. [ ; 0 +¥[ متزایدة تماما على f وبالتالي الدالة
x1 < x حیث 2 ]-¥ 0; [ عددین من x و 2 x 2) لیكن 1
لدینا 1 2
2 2
1 2
3 2 3 2 0
0
x x
x x
- + > - + > ì
í
î > >
ومنھ :
( ) 2 ( ) 2
1 1 2 2 f (x1 ) > f (x2 ) أي -3x + 2 x > -3x + 2 x
. ]-¥;0[ متناقصة تماما على f وبالتالي الدالة
.[1;8] متزایدة تماما على f 3) الدالة
( ) (1 f ھو C
المنحني المرسوم بالخط
ھو (Cg ) المستمر و
القطع المكافئ المرسوم
بالخط المتقطع .
]-¥;2[ 2) في المجال
( ) f .(Cg ) یقع فوق C
.(Cg ) یقع تحت (Cf ) ] ; 2 +¥[ و في المجال
. [ ; 0 +¥[ متزایدة تماما على f (1
. x2 + 2x ³ 2 ومنھ 0 x ³ فإن 0 x ³ إذا كان 0
. [ ; 0 +¥[ متزایدة تماما على g (2
x+1 ³ ومنھ 1 x+1³ فإن 1 x ³ إذا كان 0
. -1+ x+1 ³ أي : 0
. (g o f )(x) = x و [ ; 0 +¥[ معرفة على g o f (3
. ( f o g)(x) = x و [ ; 0 +¥[ معرفة على f o g (4
( ( )) 1 M x; f x
نعین النقطة
M( f (x); f (x))
من المنصف ثم نعین النقطة
( ( ) ( ) ) 2 M f x ; g éë f x ùû
M2 ( f (x);h(x)) أي
f (x) = u (x) + v(x) ؛ ¡* من x 1) من أجل كل
( ) و 1 u (x) = 3x حیث
3
v x
x
-
. =
متزایدتان تماما على كلا المجالین v و u 2) الدالتان
. ] ; 0 +¥[ و ]-¥ 0; [
فإن : x1 < x ؛ إذا كان 2 ¡* من x من أجل كل
( ) ( ) 1 2 ومنھ : v(x1 ) < v(x2 ) و u x < u x
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 متزایدة تماما f إذن u x + v x < u x + v x
. ] ; 0 +¥[ و ]-¥ 0; [ على كلا المجالین
3) لیكن 1
3
xÎ * - ìí üý
î þ
: ¡
( )
( )
9 2 1 3 1
3 1
f x x x
gx x
-
= = +
-
(4 h و 1 D = ¡
f 3
g
D = * - ìí üý
î þ
إذن ¡ h f
g
. ¹
f (x) = u (x) + v(x) ؛ I من x 1) من أجل كل
( ) حیث 1
2
( ) و 1 u x = x
2
v x
x
-
. =
متزایدتان تماما v و u (2
متزایدتان تماما f . I على
. I على
؛ I من x 3) من أجل كل
D(x) و 1 S (x) = x
x
. =
I متزایدة تماما على S
. I متناقصة تماما على D و
( ; ( )) (4 s Mx S x و ( ) ( ) ; D النقطتان من Mx D x
64
65
68
67
-2 -1 2
2
3
4
0 1
1
x
y
x
f(x)
2 3
2
3
0 1
1
x
y
M 1 M
2 M
69
70
2 3 4 5
2
3
4
0 1
1
x
y 66
7
على الترتیب D و الدالة S منحنیي الدالة
و
( ) ( )
;
2
S x D x
M x
æ + ö
ç ÷
è ø
g نقطة من منحني الدالة
. [MSMD ] منتصف القطعة M وتكون
. [-3;3] معرفة على المجال f نعتبر دالة
بالنسبة لمحور الفواصل. f نظیر منحني f 1) منحني 1
2) أربعة أجزاء منطبقة مثنى مثنى وجزآن متناظران
بالنسبة لمحور الفواصل .
j بالانسحاب الذي شعاعھ f صورة منحني f 3) منحني 3
r
4 منحني )4 f صورة منحني f بالانسحاب الذي شعاعھ i
r
ولدینا : ¡ معرفة على g o f و f o g كل من
وكذلك ( f o g)(x) = 32x6 - 48x4 +18x2 -1
. ( g o f )( x) = 32x6 - 48x4 +18x2 -1
f (-x) f (x) 1) نجد بسھولة
x -¥ -2 0 2 +¥ (2
x- 2 - - - +
x+ 2 - + + +
f (x) = x؛ xÎ]-¥;- 2] من أجل
f (x) = 3x+ 4 ؛ xÎ[-2;0] من أجل
f (x) = -3x+ 4 ؛ xÎ[0;2] من أجل
f (x) = -x ؛ xÎ[ ; 2 +¥[ من أجل
ومتناقصة تماما ]-¥ 0; ] متزایدة تماما على f 3) الدالة
. [ ; 0 +¥[ على
1) الرسم
. A= 2) التخمین 3
( ) 3 5 (3
1
f x
x
-
= +
+
4) باستعمال العملیات
. ]- ; 1 + ¥[ متزایدة تماما على f على الدوال نجد الدالة
ومنھ x +1 > 0 ؛ xÎ]- ; 1 + ¥[ 5) من أجل كل
5 0
x 1
-
<
+
f (x) - 3 < إذن 0
. ]-¥;3[ یتغیر في المجال f (x) (6
AM(x - 2; x) (1
uuuur
AM = x2 - 3x + 4 ؛
. AM = f ( x) ومنھ f (x) = x2 - 3x + 2) أ) 4
ب)
0 3
2
+¥
x
4
7
4
f (x)
ھي 7 f ج) القیمة الحدیة الصغرى للدالة
4
ومنھ أصغر
ھي 7 AM مسافة ممكنة لِ
2
ھي الحل M وفاصلة
( ) الموجب للمعادلة 7
4
ونجد 3 ; 3 f x =
2 2
M
æ ö
ç ÷
è ø
.
BQ MQ
BH AH
و منھ 6 =
9 6
MQ - x
=
أي 9 6
6
MQ x
-
، إذن 18 3 = ´
2
MQ x
-
=
( ) 18 3 2 3 2 18
2
A x MQ QP x x x x
-
= ´ = ´ =- +
[0;6] معرفة على A 2) الدالة
و متناقصة تماما [0;3] متزایدة تماما على A 3) الدالة
.[3;6] على
. x = تقبل القیمة 27 كقیمة حدیة عظمى عند 3 A 4) الدالة
71
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
4
2 1
3
72
76
73
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
74
75
8
أكبر ما یمكن إذا كان MNPQ 5) تكون مساحة المستطیل
و تكون قیاسات المستطیل ھي 6 و 9 x = 3
2
.
1) ینشر العبارة
2 325
2 4
æç x - ö÷ -
è ø
. f (x) نجد عبارة
بالانسحاب الذي (P) صورة المنحني (Cf ) المنحني
شعاعھ 3 25
2 4
i - j
r r
2) من أجل كل عدد
لدینا x ³ حقیقي 0
ومنھ | x |= x
g (x) = f (x)
زوجیة لأن g
| -x |=| x |
3) منحني الدالة
الزوجیة یكون
متناظر بالنسبة
لمحور التراتیب .
المعادلة ¡-{3} 1) نحل في (I )
أي f (x) - g (x) = 0
( )( )( )
( )
4 1 2
0
2 3
x x x
x
+ - -
=
-
1; 5 (-4;0) ونجد إحداثیات نقط التقاطع
2
æ ö
ç ÷
è ø
. (2;6) و
f (x) - g (x) 2) ندرس إشارة
( ) ( ) (1(II ) mfx g x تكافئ =
mx3 - 7mx2 + (16m+1) x-12m- 2 = 0
8m- 28m+ 32m+ 2 -12m- 2 = 0 (2
(3 m(E) ومنھ cm = 6m+1 ، bm = -5m ، a = m
(x- 2)(mx2 -5mx + 6m+1) = تكافئ 0
ممیز المعادلة D = m2 - 4m
mx2 - 5mx+ 6m+1 = 0
mÎ[0;4[ ·
mÎ]-¥;0[È]4;+¥[ ·
تصحیح المعلم متعامد ولیس متجانس
ھي I 1) فاصلة
2
AN AM : ولدینا t
BC MB
أي =
1
AN t
t
=
-
ھو N ومنھ ترتیب
1
t
t -
I وبالتالي ترتیب
( ) ھو 2 1
t
t -
( ) و منھ t = 2x 2) لدینا
2
2 2 1 2 1
y x x
x x
= =
- -
( ) 3) أ) 1 1 1
2 2 2 1
f x
x
= + ´
-
; متناقصة تماما على كل من 1 f ( ب
2
ù-¥ é úû êë
و ; 1
2
ù +¥é úû êë
ج)
إحداثیي مركز التناظر ھي 1 ; 1
2 2
æ ö
ç ÷
è ø
.
77
78
79
-2 -1 2
-1
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y