ساعدوني في حل هذه النهاية

RiDS · 2013-01-18, 20:15

بسم الله الرحمان الرحيم
ساعدوني في حل هذه النهاية

$\lim x \to 0 \frac{1-\cos (x)}{\sin (x)x}$

مُسافر · 2013-01-18, 20:44

اعتمد على هذه النهاية (الشهيرة)
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin(x)}=1$

فلنبدأ D: :
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x\sin(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\times \frac{x}{\sin(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\times 1$

ممايعني ان
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x\sin(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}$

هناك العديد من الطرق لايجاد هذه النهاية منها الضرب في المرافق
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\times \frac{1+\cos(x)}{1+\cos(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos^2(x)}{x^2}\times \frac{1}{1+\cos(x)}$

لدينا
$\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$

اذا
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^2(x)}{x^2}\times \frac{1}{1+\cos(x)}$

ومنه
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=1^2\times \frac{1}{1+\cos(0)}=\boxed{\frac{1}{2}}$

RiDS · 2013-01-18, 21:36

و الله يا حبيبي هنيتني

RiDS · 2013-01-18, 21:37

الله يبارك فيك
أخي ممكن سؤال ؟ وش من سنة تقرى ؟ و شكرا جزيلا مرة أخرى

مُسافر · 2013-01-19, 17:50

ثالثة ثانوي
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــ
ملاحظة : يمكنك اثبات هذه النهاية
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$

باستعمال تعريف العدد المشتق ..او حتى انه يمكنك اثباتها هندسيا