المستقيم في المستوي اليك مصطفي

[جمانا]

المستقيم في المستوى

معلم مستوى

(تذآير و اضافات) -I
-1 أنشطة

(

O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم

􀁇 􀁇

،

.

v􀁇 ( و ( 2;4 u􀁇 (− ومتجهتين ( 2;3 C (3;− و ( 2 B (−3;− و ( 1 A ( نعتبر النقط( 1;2

v

􀁇 و u􀁇 و المتجهتين C و B و A -1 أنشئ النقط

AB

-2 حدد زوج إحداثيتي آل من

􀁊􀁊􀁊􀁇

AC

و

􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇

و

2 1
2

u

􀁇 − v􀁇

AB

= BD حيث D -3 حدد زوج إحداثيتي

􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇

[

AB ] منتصف I -4 حدد زوج إحداثيتي

-2

شرط استقامية متجهتين
أ- محددة متجهتين
تعريف

متجهتين

v􀁇 (x '; y ') و u􀁇 (x ; y ) لتكن
أو det (u􀁇;v􀁇) في هذا الترتيب) نرمز له ب ) v􀁇 و u􀁇 يسمى محددة المتجهين xy '− x ' y العدد

'
'

x x
y y

=

xy '− x ' y نكتب

'
'

x x
y y

det

(u􀁇;v􀁇) =

w

􀁇 (− و ( 5;0 v􀁇 ( و ( 2;4 u􀁇 (− مثال نعتبر ( 2;3
det (u􀁇;w􀁇 ) و det (u􀁇;v􀁇) حدد
غير منعدمتين v􀁇 (x '; y ') و u􀁇 (x ; y ) ب- لتكن

u

􀁇 = kv􀁇 مستقيميتان تكافئ v􀁇 و u􀁇 *

y

= ky ' و x = kx ' تكافئ

xy

'− x ' y = kx ' y '− kx ' y ' = ومنه 0

x

' ≠ و 0 xy '− x ' y = نفترض 0

*

نضع

'

x k
x
x

= kx ' = ومنه

y

= ky ' تكافئ xy '− x ' y = و بالتالي 0

u

􀁇 = kv􀁇 إذن

xy

'− x ' y = منعدما فان 0 v􀁇 أو u􀁇 إذا آان

خاصية

det

(u􀁇;v􀁇) = مستقيميتين إذا وفقط إذا آان 0 v􀁇 و u􀁇 تكون

det

(u􀁇;v􀁇) ≠ غير مستقيميتين إذا وفقط إذا آان 0 v􀁇 و u􀁇 تكون

مثال

w

􀁇 (− و ( 1; 2 v􀁇 (1; 2 − و ( 1 u􀁇 ( 2 + لتكن ( 1;1

w

􀁇 و u􀁇 ثم v􀁇 و u􀁇 أدرس استقامية

تمرين

(

O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم

􀁇 􀁇

،
نعتبر النقط

1 ;3
2

A

 
 
 

u

􀁇 ( ومتجهة ( 1;3 C ( و ( 1;4 B (−2;− و ( 2

u

􀁇 و المتجهة C و B و A -5 أنشئ النقط
مستقيميتان v􀁇 (x − و ( 2;5 u􀁇 حيث x -6 حدد
مستقيمية C و B و A -7 بين أن النقط

https://arabmaths.site.voila.fr

Moustaouli Mohamed

المستقيم في المستوى

-II
-1 مستقيم معرف بنقطة ومتجهة

متجهة غير منعدمة

u􀁇 نقطة و A لتكن

t

∈ ; AM =tu حيث M مجموعة النقط (D ) نحدد

􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 􀁜

AB

= u لنضع

􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇

B

∈(D ) لان (D ) ≠ ∅*

t

∈ ; AM =tAB * نعلم أن

􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇

M

∈(AB ) تكافئ 􀁜

(

D ) = (AB )

u

􀁇 و الموجه ب A يسمى المستقيم المار من (D )

تعريف

متجهة غير منعدمة

u􀁇 نقطة و A لتكن

t

∈ ; AM =tu حيث M مجموعة النقط

􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 􀁜

المستقيم المار من هي A و الموجه ب u􀁇 نرمز له ب ( ) ; D A u

􀁇

ملاحظة

غير منعدمتين

v􀁇 و u􀁇 لتكن

D

(A;u􀁇) = D (A;v􀁇) مستقيميتين فان v􀁇 و u􀁇 * إذا آان

D

(A;u􀁇) = D (B;u􀁇) فان B ∈D (A;u􀁇) * إذا آان

AB

*

􀁊􀁊􀁊􀁇

(

AB ) موجهة للمستقيم

-2

تمثيل بارامتري لمستقيم

(

O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم

􀁇 􀁇

مستقيم

(D ) ، نعتبر
موجهة له u􀁇 (α ;β ) وA (x 0 ; y مار من النقطة ( 0

AM

= tu حيث 􀁜 من t تكافئ توجد M ∈(D )

􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇

تكافئ

0
0

x x t
t
y y t

α
β

 = +
 = + ∈ 

􀁜

النظمة

0
0

x x t
t
y y t

α
β

 = +
 = + ∈ 

تسمى تمتيل بارامتري 􀁜

u

􀁇 (α ;β ) والموجه ب A (x 0 ; y المار من ( 0 (D ) للمستقيم

مبرهنة وتعريف

(

O;i ; j ) المستوى منسوب الى معلم

􀁇 􀁇

نقطة

. A (x 0 ; y متجهة غير منعدمة و ( 0 u􀁇 (α ;β ) و
له نظمة على شكل 0 u􀁇 (α ;β ) وموجه ب A (x 0 ; y مار من ( 0 (D ) آل مستقيم

0

x x t
t
y y t

α
β

 = +
 = + ∈ 

􀁜

النظمة

0
0

x x t
t
y y t

α
β

 = +
 = + ∈ 

والموجه A (x 0 ; y المار من ( 0 (D ) تسمى تمتيل بارامتري للمستقيم 􀁜

u

􀁇 (α ;β ) بhttps://
arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed

تمرين

(

O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم

􀁇 􀁇

،

.

v􀁇(4;− و ( 6 u􀁇 (− ومتجهتين ( 2;3 C ( و ( 1;4 B (0;− و ( 2 A (− نعتبر النقط( 2;1

لتكن

2
1

x t
t
y t

 = −
 = + ∈ 

(Δ) تمثيلا بارامتريا لمستقيم 􀁜

(

Δ) و المستقيم u􀁇 و الموجه ب A المار من (D ) -1 أنشئ المستقيم

(

D ) -2 أ- حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم

(

D ) ب- أعط ثلاث نقط تنتمي إلى المستقيم

(

D ) تنتميان الى المستقيم C و B ج- هل النقطتين
مستقيميتان v􀁇 و u􀁇 -3 أ- بين أن
حدد تمثيلا بارامتريا ل - ب ( ) ; D C v

􀁇

.

ماذا تلاحظ

(

AC ) -4 حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم

ملاحظة

آل مستقيم يقبل ما لا نهاية من التمثيلات البارامترية

-3

معادلة ديكارتية لمستقيم
أ- مستقيم معرف بنقطة و متجهة

(

O;i ; j ) منسوب إلى معلم (P ) في مستوى

􀁇 􀁇

،
موجهة له

. u􀁇 (α ;β ) وA (x 0 ; y مستقيم مار من النقطة ( 0 (D ) نعتبر

(

P ) نقطة من M (x ; y ) لتكن

AM

تكافئ M ∈(D )

􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇

مستقيميتان

u􀁇 و
تكافئ 0
0

0

x x
y y

α
β

−
=
−

β

x −α y +α y 0 − β x 0 = تكافئ 0

c

=α y 0 − β x 0 ; β = a ; −α = b نضع

(

a;b ) ≠ ( حيث ( 0;0 ax +by +c = تكافئ 0 M ∈(D )

مبرهنة

في مستوى منسوب إلى معلم

.

(a;b ) ≠ ( حيث ( 0;0 ax + by + c = له معادلة على شكل 0 (D ) آل مستقيم

*

العكس

(

a;b ) ≠ ( اعداد حقيقية حيث ( 0;0 c و b و a لتكن

ax

+by +c = حيث 0 M (x ; y ) مجموعة النقط (D ) لنحدد

a

≠ لنفرض أن 0

C c

;0 (D ) غير فارغة لأن (D )

a

 − ∈ 

ax0 +by0 +c = ومنه 0 (D ) تنتمي الى A (x 0 ; y لتكن ( 0

c

= −ax 0 −by وبالتالي 0

ax

+ by + c = تكافئ 0 M (x ; y )∈(D )

ax

+ by − ax 0 −by 0 = تكافئ 0

a

(x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) = تكافئ 0

تكافئ

0
0

0

x x b
y y a

− −
=
−

https://arabmaths.site.voila.fr

Moustaouli Mohamed

AM

تكافئ

􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇

مستقيميتان

u􀁇 (−b;a) و

M

∈D (A;u􀁇) تكافئ

مبرهنة

ax

+by +c = حيث 0 M (x ; y ) في مستوى منسوب إلى معلم مجموعة النقط

u

􀁇 (−b;a) الموجه ب (D ) هي المستقيم (a;b ) ≠ ( و ( 0;0

u

􀁇 (−b;a) الموجه ب (D ) تسمى معادلة ديكارتية للمستقيم (a;b ) ≠ ( حيث ( 0;0 ax + by + c = المعادلة 0

تمرين

(

O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم

􀁇 􀁇

.

u􀁇 ( و ( 1;2 A (− ، نعتبر النقطة ( 2;1

و

(D ) 2 معادلة ديكارتية لمستقيم x − 3y +1 = لتكن 0
1 5
2 2

x t
t
y t

 = +
 = − ∈ 

تمثيل بارامتري لمستقيم 􀁜

(

D ')

u

􀁇 و موجه ب A مار من (Δ) -1 حدد معادلة ديكارتية لمستقيم
و متجهة موجهة له. (D ) -2 أعط ثلاث نقط من المستقيم
أنشئ الشكل. . (D ') -3 حدد معادلة ديكارتية للمستقيم

ملاحظة

متكافئين، فهما معادلتان

akx +bky + kc = و 0 ax +by +c = المعادلتان 0 ، k * لكل عدد حقيقي غير منعدم
لنفس المستقيم

*

للمستقيم مالا نهاية من المعادلات المتكافئة.

ب

- المستقيم المعرف بنقطتين
خاصية

(

O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم

􀁇 􀁇

فان إحدى

B (x B ; y B ) و A (x A ; y A ) إذا آان A ≠ B نعتبر

(

x − x A )( y B − y A ) − ( y − y A )(x B − x A ) = هي 0 (AB ) معادلات ديكارتية ل

مثال

(

AB ) حدد معادلة B (−1;− و ( 2 A (−2;3)

ج

- حالات خاصة

*

المستقيم القاطع لمحوري المعلم

إذا و فقط إذا آان للمستقيم

B (0;b ) و A (a; محوري معلم في نقطتين مختلفتين( 0 (D ) يقطع مستقيم

x y

معادلة ديكارتية على شكل 1 (D )

a b
b

≠ و 0 a ≠ = + حيث 0

*

المستقيم الموازي لمحور الأراتيب
خاصية

x

= c يكون مستقيم مواز لمحور الأراتيب اذا و فقط آان له معادلة من نوع

(

a;b ) ≠ ( ملاحظة ليكن ( 0;0

b

= معادلة مستقيم مواز لمحور الأراتيب إذا و فقط إذا آان 0 ax +by +c = تكون 0

https://arabmaths.site.voila.fr

Moustaouli Mohamed

*

المستقيم الموازي لمحور الأفاصيل
خاصية

.

y = c يكون مستقيم مواز لمحور الأراتيب اذا و فقط آان له معادلة من نوع

*

المستقيم غير الموازي لمحور الأراتيب

(

O;i ; j ) مستوى منسوب إلى معلم (P )

􀁇 􀁇

(

D ) : ax + by + c = 0

b

≠ غير مواز لمحور الأراتيب تكافئ 0 (D )

y b x c

تصبح (D ) إذن معادلة

a a

−
= −

p c

; m a نضع

b b

− −

y

= mx + p تكتب (D ) = = إذن معادلة

(

D ) معادلة y = mx + p بالعكس نعتبر

det

(u ; j ) ≠ و لدينا 0 (D ) موجهة ل u􀁇 (1;m ) ومنه

􀁇 􀁇

لا يوازي محور الأراتيب

. (D ) إذن

خاصية

مستوى منسوب إلى معلم

(P )

y

= mx + p على شكل (D ) غير مواز لمحور الأراتيب إذا وفقط إذا آانت معادلة (D ) يكون المستقيم

(

D ) يسمى المعامل الموجه للمستقيم m العدد

(

D ) موجهة للمستقيم u􀁇 (1;m ) المتجهة

(

D) تسمى المعادلة المختزلة للمستقيم y = mx + p المعادلة

ملاحظ

ة

u

(α ;β ) اذا آان

􀁇

β

موجهة لمستقيم غير مواز لمحور الأراتيب فان المعامل الموجه له هو العدد

α

تمرين

(

O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم

􀁇 􀁇

،

( )

و 1 3 A (− نعتبر النقطة ( 2;1
:
2

x t
t
y t

 = +
Δ = −+ ∈ 

. 􀁜

و معامله الموجه

1 A المار من (D ) -1 حدد المعادلة المختزلة للمستقيم

2

.

−

ثم معادلته المختزلة

. (Δ) -2 حدد المعامل الموجه للمستقيم

الأوضاع النسبية لمستقيم

- III
-1 التوازي

( ) ( )

1 2 D :ax +by +c = 0 ; D :a'x +b ' y +c ' = 0

(

D موجهة ل ( 2 u􀁇 '(−b ';a ') و (D موجهة ل ( 1 u􀁇 (−b;a)
( ) ( ) 1 2 det (u􀁇;u􀁇 ') = تكافئ 0 D // D
ab '− a 'b = تكافئ 0

مبرهنة

1

(

O;i ; j ) مستوى منسوب إلى معلم (P ) ليكن

􀁇 􀁇

.

(a ';b ') ≠ ( و ( 0;0 (a;b ) ≠ ( و ( 0;0

(

D1 ) :ax +by +c = 0 ; (D2 ) :a'x +b ' y +c ' = نعتبر 0

( ) ( )

1 2 ab '− a 'b = اذا و فقط اذا آان 0 D // D

https://arabmaths.site.voila.fr

Moustaouli Mohamed

مبرهنة

2

(

O;i ; j ) مستوى منسوب إلى معلم (P ) ليكن

􀁇 􀁇

(

D1 ) : y = mx + p ; (D2 ) :y = m'x + p ' و

( ) ( )

1 2 m = m ' اذا و فقط اذا آان D // D

مثال

( ) ( )

1 2 D : 2x −3y + 4 = 0 ; D : −4x +6y +1= 0

منفصلا أم منطبقان

(D و ( 2 (D هل( 1

-2

التقاطع
مبرهنة 1

(

O;i ; j ) مستوى منسوب إلى معلم (P ) ليكن

􀁇 􀁇

.

(a ';b ') ≠ ( و ( 0;0 (a;b ) ≠ ( و ( 0;0

(

D1 ) :ax +by +c = 0 ; (D2 ) :a'x +b ' y +c ' = نعتبر 0

( )

1 ab '− a 'b ≠ متقاطعان اذا و فقط اذا آان 0 (D و ( 2 D

و زوج إحداثيتي تقاطعهما هو حل النظمة

0
' ' ' 0

ax by c
a x b y c

+ + = 

 + + =

مبرهنة

2

(

O;i ; j ) مستوى منسوب إلى معلم (P ) ليكن

􀁇 􀁇

(

D1 ) : y = mx + p ; (D2 ) :y = m'x + p ' و

( )

1 m ≠ m ' متقاطعان اذا و فقط اذا آان (D و ( 2 D

و زوج إحداثيتي تقاطعهما هو حل النظمة

' '

y mx p
y m x p

= + 

 = +

مثال

( ) ( )

1 2 D : x +3y −5 = 0 ; D : 2x + y −1= 0

متقاطعان وحدد تقاطعهما

(D و ( 2 (D تأآد أن ( 1

تمرين

و

1 ; 3 [BC ] منتصف I نقط حيث K و J و I مثلثا و ABC ليكن

4 2

CK

= − AC AJ = AB

􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇

.

(

A;AB ;AC ) ننسب المستوى إلى معلم

􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇

K

و J و I -1 حدد إحداثيات النقط
مستقيمية K و J و I -2 بين أن النقط
ثم حدد معادلة ديكارتية له. (IJ ) -3 حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم

تمرين

(

O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم

􀁇 􀁇

u

􀁇 ( و ( 5;2 B ( و ( 2;4 A (− ، نعتبر النقطتين ( 2;1

(

Dm ) : (m −1)x −2my +3 = و 0 (D ) : 2x − 3y +1 = و 0

u

􀁇 و الموجه بالمتجهة A المار من (Δ) -1 حدد معادلة ديكارتية للمستقيم
متقاطعان و حدد تقاطعهما. (Δ) و (D ) -2 تأآد أن

(

D ) // (Dm ) حيث m -3 أ- حدد

B

∈(Dm ) حيث m ب- حدد

(

D2 ) ; (D1 ) ; (D -4 أ- أنشئ المستقيمات ( 0

ب

– بين أن جميع المستقيمات تمر من النقطة 3; 3
2

C

 
 
 

تمرين

C

(0;2) ; B (6.7) ; A ( نعتبر ( 10;3

ABC

حدد معادلة ديكارتية لكل متوسط للمثلث

.

ABC مرآز ثقل G حدد زوج إحداثيتي

http:/