مساعدة بسيطة رجاء

[fifi tery]

السلام عليكم احتاج مساعدة رجاء
اذا كان a و لا عددان طبيعيان اوليان فيما بينهما فان كيف نبرهن مايلي

*a^2 و b^2 اوليان فيما بينهما
* pgcd)a+b ;ab=1
*a+b و a^2+b^2-2abاوليان فيما بينهما او قابلان للقسمة على3

[fifi tery]

بارك الله فيك شكرا جزيلا
بالنسبة للسؤال الثالث لقد اخطات في الكتابة
a+b و a^2+b^2-ab اوليان فيما بينهما او قابلان للقسمة على 3
رجاء مساعدة

[alyes]

على كل حال مثل هذا النوع من الأسئلة الجبرية التي مجال دراستها محدود كمجموعة الأعداد الطبيعية أو الصحيحة يستحسن حلها ويسهل برهانها منطقيا بفرض القضية المضادة للمطلوب والتوصل إلى حل مستحيل (تناقض) أو بكلمة أخرى نستعمل البرهان بعكس النقيض.

السؤال 1 :
نفرض أنه إذا كان a , b أوليان فيما بينهما فإن a² , b² ليس أوليان بينهما (عكس المطلوب).
a² , b² ليس أوليان فيما بينهما معناه: يوجد عدد طبيعي d أولي لا يساوي 1 حيث (d=pgcd(a²,b²
معناه d/a² و d/b²
معناه d/a.a و d/b.b
معناه d/a أو d/a و d/b أو d/b
معناه d/a و d/b
معناه (d/pgcd(a.b مع d لا يساوي 1 !!! مستحيل بما أن a,b
أوليان فيما بينهما أي pgcd(a,b) = 1
إذن d=1 يعني أن b² , a² أوليان فيما بينهما .

السؤال 2 :
بنفس الطريقة نفرض إذا كان a و b أوليان فيما بينهما فإن ab و a+b ليس أوليان بينهما
a+b , ab ليس أوليان فيما بينهما معناه: يوجد عدد طبيعي m أولي لا يساوي 1 حيث (m=pgcd(a+b,ab
معناه m/ab و m/a+b
معناه (m/a أو m/b) و m/a+b

معناه 1* إذا كان m/a و m/a+b فإن m/b حتما
2* إذا كان m/b و m/a+b فإن m/a حتما
معناه أنه في كلتا الحالتين m/a و m/b
معناه أن (m/pgcd(a.b علما أن m لا يساوي 1 فرضا !!! مستحيل
بما أن a , b أوليان فيما بينهما أي pgcd(a,b) = 1
إذن m=1 يعني أن a+b , ab أوليان فيما بينهما .

السؤال 3 : أفضل أن تحاولي فيه علما أنه بنفس المنطق و نفس خطوات السؤالين السابقين مع الأخذ بعين الإعتبار 3 نقاط إضافية :
* إعادة كتابة العدد علي شكل مربع تام
* إستعمال خواص قابلية قسمة عددين صحيحين علي نفس العدد
* إستعمال خاصية تعميم pgcd علي الأعداد الصحيحة
بالتوفيق للجميع
رَبَّنَا آتِنَا فِي الدُّنْيَا حَسَنَةً وَفِي الآخِرَةِ حَسَنَةً وَقِنَا عَذَابَ النَّارِ

[fifi tery]

ممكن مساعدة بالنسبة للسؤال 3 لقد اخطات في كتابته وصححته في الرد شكرا

[مكاوي أيوب]

أخ إلياس!!

أعجبتني جداً طريقة حلّك

لي مدة أتابع فيها مشاركاتك، حقاً الرياضيات معك مُمتعة : )

بارك الله فيك

[alyes]

و فيك بركة الأخت و لا شكر على واجب سوف أرد بعد قليل إن شاء الله , بدوري أشكرك علي هذه الأسئلة ذات مستوى عال

[alyes]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مكاوي أيوب

أخ إلياس!!

أعجبتني جداً طريقة حلّك

لي مدة أتابع فيها مشاركاتك، حقاً الرياضيات معك مُمتعة : )

بارك الله فيك

نحن هنا للمساعدة يا أخي, وفقك الله

[alyes]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
السؤال 3 :
نلاحظ أن : a²+b²-ab = (a+b)²-3ab
نبرهن علي : b و a أوليان فيما بينهما يستلزم أن b+a و a+b)²-3ab) إما أوليان فيما بينهما أو يقبلان القسمة علي 3
من الواضح أنه إذا كان b+a من مضاعفات 3 فإن a+b)²-3ab) يقبل القسمة علي 3
لأن // a+b = 3k يعني أن a+b)² - 3ab = (3k)² - 3ab) حيث k عدد صحيح
يعني // // فإن 3 يقسم (a+b) و 3 يقسم a+b)² - 3ab)
الآن إذا كان a+b ليس مضاعف ل3 فعلينا أن نبرهن أن العددان b+a و a+b)²-3ab) أوليان فيما بينهما إنطلاقا طبعا من كون a و b أوليان فيما بينهما.
نفرض أن b+a و a+b)²-3ab) ليس أوليان بينهما (عكس المطلوب)
معناه : يوجد عدد طبيعي n أولي لا يساوي 1 حيث {n = {pgcd{(a+b)²-3ab , a+b
معناه : n/a+b و n/(a+b)²-3ab
معناه : n/a+b و n/3ab حتما (بما أن n/a+b)
معناه : n/a+b و إما n/a أو إما n/b أو إما n = 3 (حل مرفوض لأن a+b ليس مضاعف ل 3)
معناه : ( n/a+b و n/a ) أو (n/a+b و n/b)
معناه : n/a و n/b في الحالتين
معناه : (n/pgcd(a.b علما أن n لا يساوي 1 و هذا تناقض كون 1 = (pgcd(a,b
و منه حتما n = 1 أي أن العددان b+a و a+b)²-3ab) أوليان فيما بينهما إذا كان a+b ليس مضاعف ل3.
أما إذا كان b+a من مضاعفات 3 فإن b+a و a+b)²-3ab) يقبلان القسمة علي 3.
و بتعبير رياضي : {pgcd (a+b , 3) = pgcd {(a+b)²-3ab , a+b

ربَّنَا اغْفِرْ لَنَا ذُنُوبَنَا وَإِسْرَافَنَا فِي أَمْرِنَا وَثَبِّتْ أَقْدَامَنَا وانصُرْنَا عَلَى الْقَوْمِ الْكَافِرِينَِ

[alyes]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة fifi tery

ممكن مساعدة بالنسبة للسؤال 3 لقد اخطات في كتابته وصححته في الرد شكرا

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

يجب التمييز في الجبر خاصة وفي الرياضيات عامة بين الإستلزام و التكافؤ, فمثلا أسإلتك الثلاثة كلها هي عبارة عن برهان لإستلزام إذن إنتباه إذا كان السؤال برهان لتكافؤ (إذا وفقط إذا كان) ففي هذه الحالة لا بد من البرهان علي كلتا االإستلزامين المتعاكسين وإلا فبرهانك غير كامل.


للتنبيه, بالنسبة للسؤالين 1 و 2 يمكن برهان كلتا الإستلزامين المتعاكسين أو التكافؤ المتعلق بكل سؤال بطريقة أخرى غير عكس النقيض و ذالك باستعمال théorème de bizout.

[fifi tery]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة alyes

و فيك بركة الأخت و لا شكر على واجب سوف أرد بعد قليل إن شاء الله , بدوري أشكرك علي هذه الأسئلة ذات مستوى عال

شكرا

[alyes]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
العفو و بالتوفيق إن شاء الله

[sabrina9]

انا مافهمتش علاه تحط d اولي بالظبط و علاه مايكونش عدد طبيعي برك ???

[i like maths]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة sabrina9

انا مافهمتش علاه تحط d اولي بالظبط و علاه مايكونش عدد طبيعي برك ???

هذا ماكنت اتساءل عنه بالضبط

[alyes]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة sabrina9

انا مافهمتش علاه تحط d اولي بالظبط و علاه مايكونش عدد طبيعي برك ???

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة i like maths

هذا ماكنت اتساءل عنه بالضبط

نعم لابدّ من أن يكون أوّلي لكي تكون العلاقة محقّقة دوما
مثال : 6 يقسم الجداء 8*9 مع أنّه لا يقسم أيّ من العددين
هذه العلاقة مُشتقّة من علاقة غوص و تمثّل خاصية من خواصّه

بالتوفيق للجميع إن شاء الله

[sabrina9]

اوكي شكرا اخي ..