كيف نثبت أن المنحنى يقبل نقطتي إنعطاف ؟؟

[*محب النجاح*]

في العادة يطلب منا نقطة إنعطاف واحدة لكن ماذا في حالة نقطتين ماهي الطريقة المتبعة ؟؟

[bouss2013]

السلام عليكم

نفس الشي لكن هذه المرة نجد المشتق الثاني ينعدم مرتين ويغير فيهما اشارته فهو بالتالي يقبل نقطتي انعطاف او نجد ان المشتق الاول ينعدم مرتين ولايغير اشارته فيهما

https://www.4shared.com/download/vHhH....PNG?lgfp=3000

[alyes]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بارك الله فيك أخي بوص و جزاك خيرا علي كلّ مجهوداتك المتميّزة و حبك للمساعدة إلّا أنّ لي تدخّل و توضيح فيما يخّص نقطة الإنعطاف، إذ أنّ الكثير ممّن يظنّون إيجادها كما تفضّلت باختيار إحدى الطريقتين التي ذكرتَهما لكن في الواقع طريقة حساب المشتق الثاني هي الوحيدة الكفيلة التي يمكن من خلالها إيجاد نقط الإنعطاف فقد تقع علي دوال تقبل نقط إنعطاف يُستحال إيجادها بحساب المشتق الأول فقط، علي سبيل المثال الدالة f(x) = (x^3)/3 - x² - 3x +1 تقبل نقطة إنعطاف عند x = 1 مع أنّ المشتق الأول (f '(x عند حسابه لا يوحِي بذلك إطلاقا، وعليه فإنّ طريقة حساب المشتق الأول لا تعبِّر بتاتا علي إمكانية وجود هته النقط إلّا في حالة خاصّة وهي أن ينعدم دون تغيير الإشارة، حتّي و في هذه الحالة الخاصّة لا بدّ من حساب المشتق الثاني لإيجاد نقط إنعطاف أخري إ(ن وُجدت طبعا).
علي كلّ حال سأحاول بإذن الله تعالى إعداد ورقة تلقي الضوء علي هذه النقطة الحسّاسة مع تمنياتي بالتوفيق للجميع

[saya2011]

السلام عليكم
بارك الله فيكم أساتذتنا الأفاضل
فقط لدي استفسار هنا

حتّي و في هذه الحالة الخاصّة لا بدّ من حساب المشتق الثاني لإيجاد نقط إنعطاف أخري إ(ن وُجدت طبعا)

لم تعتبر هذه الخطوة واجبة أستاذ ، أقصد ألا تكفي حساب المشتق الأول وايجاده ينعدم دون تغيير الإشارة ، فهذا ما تلقيناه بخصوص هذه النقطة .

[alyes]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة saya2011

السلام عليكم
بارك الله فيكم أساتذتنا الأفاضل
فقط لدي استفسار هنا
لم تعتبر هذه الخطوة واجبة أستاذ ، أقصد ألا تكفي حساب المشتق الأول وايجاده ينعدم دون تغيير الإشارة ، فهذا ما تلقيناه بخصوص هذه النقطة .

نعم إن إنعدم المشتق الأول دون أن يغيِّر الإشارة فهذا دليل علي وجود نقطة إنعطاف لأنّ المشتق الثاني سينعدم و يغيّر الإشارة لكن ربما قد تكون نقطة إنعطاف أخري (أو نقط) فلهذا يجب حساب المشتق الثاني.
قد نكتفي بحساب المشتق الأول فقط إذا إنعدم و لم يغيّر الإشارة إذا طُلب منّا إثبات وجود نقطة إنعطاف أي نقطة واحدة فقط، ففي هذه الحالة لا داعي لحساب المشتق الثاني.
وقد يُطلب إثبات وجود نقطتين إنعطاف لكن المشتق الأول إنعدم و لم يغيّر الإشارة في نقطة واحدة فقط، ففي هذه الحالة *إمّا أن تكون الدالة فردية أو زوجية أو تقبل مركز أو محور تناظر و عليه يُمكن استنتاج نقطة الإنعطاف الأخري نظيرة النقطة الأولي * و إما أن تكون الدالة لا فردية و لا زوجية و لا شيء ففي هذه الحالة لا بدّ من حساب المشتق الثاني.
وقد يُطلب إثبات وجود نقطتين إنعطاف لكن المشتق الأول لم ينعدم بدون تغيير الإشارة فهنا لا بدّ من حساب المشتق الثاني.
وقد يُطلب تعيين نقط الإنعطاف إن وُجدت دون ذكر العدد فهنا أيضا لا بدّ من حساب المشتق الثاني. كلّ شيء متعلّق بالسؤال.
كما في المثال الذي ألقيتُه منذ قليل فهناك دوال تقبل نقط إنعطاف دون أن تحقِّق شرط إنعدام المشتق الأول بدون تغيير الإشارة.
إذن أكرّر و أؤكد أنّ الشرط الأساسّي و الوحيد لتعيين نقط الإنعطاف هو حساب المشتق الثاني و التحقّق إذا ما انعدم و غيّر الإشارة أمّا إذا إنعدم المشتق الأول بدون تغيير الإشارة فهذه حالة خاصّة لا يمكن أخذها كنظريّة لإمكانية وجود نقط الإنعطاف فالنظرية الوحيدة و الصالحة دوما هي حساب المشتق الثاني. أرجو أنّي وضّحت بما يكفي هذه النقطة و إن شاء الله سأوضّح أكثر بأمثلة و صور في أقرب وقت

[bouss2013]

السلام عليكم

اليكم فيما يلي التوضيح حتي لا يكون فيه لبس في الفهم


تعريف نقطة انعطاف هي النقطة التي من اجلها ينعدم المشتق الثاني ويغير اشارته فيها


اذا انعدم المشتق الاول عند x معين بدون مايتغير اشارته عندها فهي نقطة انعطاف بالضرورة فلاداعي لحساب المشتق الثاني لانه بالضرورة نجده ينعدم و يغير اشارته عندها

لكن هذا ليس معناه ان كل نقطة انعطاف تنعدم فيه المشتق الاول بدون مايغير اشارته كما وضحت ذلك في الملخص بالقول انه في بعض الحالات يكون لدينا المشتق الاول ينعدم بدون ما يغير اشارته فنستنتج انها نقطة انعطاف ولاداعي لحساب المشتق الثاني

معنى ذلك انه كل نقطة ينعدم فيها المشتق الاول بدون مايغير اشارته فيها فهي نقطة انعطاف هذه نتيجة نستعملها وليست تعريفا لنقطة الانعطاف معنى ذلك ليس كل نقاط الانعطاف ينعدم فيها المشتق الاول بدون ما يغير اشارته فيها

الان نثبت فيما يلي ان النتيجة التي تقول انه اذا انعدم المشتق الاول عند x معين بدون مايتغير اشارته عندها فهي نقطة انعطاف

معناه اذا كان لدينا المشتق الاول ينعدم بدون ما يغير اشارته عند x ما فان المشتق الثاني بالضرورة نجده ينعدم و يغير اشارته عند x بالتالي تعريف نقطة انعطاف محقق ومنه نستنتج انها نقطة انعطاف

اليكم اثبات النتيجة

اذا كان المشتق الاول انعدم عند نقطة ولم يغير اشارته فيها معناه ان الدالة المشتقة الاولى اما سالبة على المجال الذي يحوي x وتنعدم عند x او موجبة
على المجال الذي يحوي x وتنعدم عند x معنى ذلك ان الدالة المشتقة الاولى تقيل قيمة حدي كبرى x او تقيل قيمة حدي صغرى x منه الدالة
المشتقة الثانية حتما تنعدم عند x وتغير اشارتها فيه لانه قيم حدية اي ذروة
منه اذا كان لدينا المشتق الاول ينعدم بدون ما يغير اشارته عند x نستنتج مباشرة انها نقطة انعطاف لاداعي لحساب المشتق الثاني

الخلاصة

لاثبات ان نقطة هي نقطة انعطاف لدينا طرق مختلفة لذلك اما باستعمال التعريف اي ان نقطة انعطاف هي النقطة التي من اجلها ينعدم المشتق الثاني ويغير اشارته فيها او باستعمال النتيجة السابقة اي ان اذا انعدم المشتق الاول عند نقطة بدون مايغير اشارته فيها فهي نقطة انعطاف وهي نتيجة صحيحة تستعمل لاغبار عليها ولاداعي لحساب المشتق الثاني اذا كانت محققة في دالة ما

عندما يطلب منا ايجاد اكثر من نقطة انعطاف نستعمل التعريف اي ان نقطة انعطاف هي النقطة التي من اجلها ينعدم المشتق الثاني ويغير اشارته فيها لان ليس كل نقاط انعطاف الدلة تحقق النتيجة اي انه يمكن ان يكون لدينا نقطتي انعطاف واحدة منها ينعدم فيها المشتق الاول ولا يغير عندها اشارته فنستنتج انها نقطة انعطاف اما الثانية لا ينعدم فيها المشتق الاول فيجب استعمال التعريف لايجادها وبالتالي عندما تكون هناك اكثر من نقطة انعطاف نستعمل التعريف مباشرة اي ان نقطة انعطاف هي النقطة التي من اجلها ينعدم المشتق الثاني لايجاد كل نقط انعطاف الدالة

حالة خاصة لو طلب منا في تمرين ايجاد نقطتي انعطاف وكان لدينا المشتق الاول ينعدم مرتين ولايغير اشارته فيهما نستنتج مباشرة نقطتي الانعطاف بدون حساب المشتق الثاني لانه في هذه الحالة نعلم عدد نقاط انعطاف الدالةاي يوجد اثنينن وكلاهما يحققان النتيجة فنستسنتج انهما نقاط الانعطاف

[alyes]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

أراني متّفقا تماما لِما قلتَه و بطببيعة الحال هذا ما قُلتُه كذلك بالضبط ربما بتعبير آخر فقط، علي كلٍّ قد قُلت في أول مشاركة أنّ لي " تدخّل و توضيح " و هذا لا يعني بحال من الأحوال " إعتراض " لأنّي علي دراية من أنّ الكثير من الطلبة يظنّون أنّه يكفي إختيار إحدي الطريقتين (المشتق الأول أو الثاني) لإيجاد نقط الإنعطاف أي يحسبون أنّ كلتا الطريقتين تؤدّي إلي نفس النتيجة بغضّ النظر إلي صيغة السؤال ففهمهم خاطىء أو ناقص، إذن أردت التوجّه إلي هؤلاء علي ضوء مشاركتك للتوضيح أكثر و محاولة نزع الغموض نهائيّا و المتعلق بهذه النقطة.

[saya2011]

كلّ الشكر لكـم أساتذتنا الأفاضل
اتّضحت لي الصورة الآن بعد أن كنت أظن أن حساب المشتقة الثانية هي طريقة بديلة عن الاولى في حال المشتقة غيّرت اشارتها وإذا بها هي الأساس هنـا .
عندي طلبُ آخر وهو امدادي بجميع المناقشات البيانية المتعلقة بالوسيط التي ترد في الدّوال عادة.
وباركـ الله فيكم وأحسن اليكمـ.

[bouss2013]

السلام عليكم

الملف التالي سيفيدكم ان شاء الله


https://www.mediafire.com/download/c37gto9r9yyz24v/_.pdf