ساعدوووووووووني في حساب النهايات

samar biologie · 2012-11-17, 10:39

ساعدوني ربي يحفظكم عااااااااجل

samar biologie · 2012-11-17, 11:09

................................

مُسافر · 2012-11-17, 12:32

سأحاول حل بعضها نظرا لضيق الوقت

نبدأ بالنهاية التاسعة (نعتمد على تعريف العدد المشتق )

$l=\lim_{x\rightarrow 0}(x+1)^{\frac{1}{x}} \\ \\ \ln(l)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(x+1)}{x} \\ let:f(x)=ln(x+1) \\ then: \\ \ln(l)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(x+1)-ln(0+1)}{x-0}=f'(0)=1 \\ so: l=e^{ln(l)}=e$

النهاية الثامنة

نقوم بالتالي
$\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{1}{x}+1)^x \\ let:x=\frac{1}{y},when:x\rightarrow \infty,y\rightarrow 0 \\ \lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{1}{x}+1)^x=\lim_{y\rightarrow 0 }(y+1)^{\frac{1}{y}}$

وننجز برهان مماثل لماسبق لنجد النتيجة هي e

النهاية السابعة

$\lim_{x\rightarrow 0}x^x=\lim_{x\rightarrow 0}e^{x\ln(x)} \\ \\ we \ know \ that: \lim_{x\rightarrow 0}x\ln(x)=0 \\ so: \\ \lim_{x\rightarrow 0}e^{x\ln(x)}=e^0=1$

مُسافر · 2012-11-17, 12:51

النهاية الثانية عشر

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{1-tan(x)}{cos(2x)}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{cos(x)-sin(x)}{cos(x)(cos^2(x)-sin^2(x))} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{cos(x)-sin(x)}{cos(x)(cos(x)-sin(x))(cos(x)+sin(x))} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{1}{cos(x)(cos(x)+sin(x))} \\ \\ =\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})}=1$

النهاية العاشرة
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}} \\ first:\lim_{x\overset{>}{\rightarrow} 0}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=0 \\ second:\lim_{x\overset{<}{\rightarrow} 0}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=1 \\ \\ \ limit \ does \ not \ exist \ at : x\rightarrow 0$

النهاية الخامسة عشر

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sin(x)}\times \frac{1-cos(x)}{x} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow 0}- \frac{cos(x)-1}{x} \\ \\ let:f(x)=cos(x) \\ then: \\ -1\times \lim_{x\rightarrow 0} \frac{cos(x)-1}{x}=-1\times\lim_{x\rightarrow 0} \frac{cos(x)-cos(0)}{x-0}=- f'(0) =-1\times0=0$

samar biologie · 2012-11-17, 13:11

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة energie19

النهاية الثانية عشر

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{1-tan(x)}{cos(2x)}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{cos(x)-sin(x)}{cos(x)(cos^2(x)-sin^2(x))} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{cos(x)-sin(x)}{cos(x)(cos(x)-sin(x))(cos(x)+sin(x))} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{1}{cos(x)(cos(x)+sin(x))} \\ \\ =\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})}=1$

النهاية العاشرة
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}} \\ first:\lim_{x\overset{>}{\rightarrow} 0}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=0 \\ second:\lim_{x\overset{<}{\rightarrow} 0}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=1 \\ \\ \ limit \ does \ not \ exist \ at : x\rightarrow 0$

النهاية الخامسة عشر

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sin(x)}\times \frac{1-cos(x)}{x} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow 0}- \frac{cos(x)-1}{x} \\ \\ let:f(x)=cos(x) \\ then: \\ -1\times \lim_{x\rightarrow 0} \frac{cos(x)-1}{x}=-1\times\lim_{x\rightarrow 0} \frac{cos(x)-cos(0)}{x-0}=- f'(0) =-1\times0=0$

باااارك الله فيك اخي ربي يحفظك وينجحك

لو تزيدلي 13 و 14
جزاك الله خيرا اخي

مُسافر · 2012-11-17, 13:11

النهاية الرابعة عشر :

باستخدام تعريف العدد المشتق

$\lim_{x\rightarrow0 }\frac{a^x-b^x}{sin(x)}=\lim_{x\rightarrow0 }\frac{a^x-b^x}{sin(x)}\times \frac{x}{x} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow0 }\frac{x}{sin(x)}\times \frac{a^x-b^x}{x} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow0 }1\times \frac{a^x-b^x}{x}=\lim_{x\rightarrow0 } \frac{a^x-b^x}{x} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow0 } \frac{a^x-1}{x}-\lim_{x\rightarrow0 }\frac{b^x-1}{x} \\ let:f(x)=a^x=e^{xln(a)};and \ :g(x)=b^x=e^{xln(b)} \\ \\ = \lim_{x\rightarrow0 } \frac{a^x-1}{x}-\lim_{x\rightarrow0 }\frac{b^x-1}{x} =\lim_{x\rightarrow0 } \frac{a^x-a^0}{x-0}-\lim_{x\rightarrow0 }\frac{b^x-b^0}{x-0}=f'(0)-g'(0) \\ \\ =\ln(a)-\ln(b) \\ \\ =\ln(\frac{a}{b})$

النهاية الثالثة عشر

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{x\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}=1 \\ \\ \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\lim_{x\rightarrow- \infty }\frac{x}{-x\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}=\lim_{x\rightarrow- \infty }\frac{-1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}=-1$

samar biologie · 2012-11-17, 13:29