بسرررررررررررررعة بليييز ساعدوووني

أم عبد الناصر · 2012-09-29, 14:02

برهن بالتراجع انه من اجل كل عدد طبيعي n

أم الشهداء · 2012-09-29, 15:42

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته
تمــ تغيير 12 k بــ 12 بيتا حتى لا تختلط الــ k الخاصة بالعلاقة و الخاصة بالبرهنة
1- نبرهن أن العلاقة صحيحة من أجل أقل قيمة لــ N في هذه الحالة الصفر
لدينا الصفر مضاعف للـ 12
و لدينا $0^2(0^2-1)=0$
ومنه فإنها صحيحة من أجل n=0
2- نفرض أنها صحيحة من أجل كل n=k أي نقبل أن $k^2(k^2-1)=12\alpha$
3- نبرهن صحتها من أجل n=k+1
أي نبرهن أن $(k+1)^2((k+1)^2-1)=12\beta$
ــ نعلم أن $(a-b)(a+b)= a^2-b^2$ (( جداء شهير ))
ومنه فإن
$(k+1)^2-1=(k+1)^2-1^2=(k+1-1)(k+1+1)={\color{Red} k(k+2)}$
أي أن : $(k+1)^2((k+1)^2-1)=(k+1)^2{\color{Emerald} {\color{Red} k(k+2)}}= k(k+1)(k+1)(k+2)$
(( تمــ تحرير التربيع ))

ولدينا : $k^2(k^2-1)=12\alpha$ ــــ*ـــــ

حيث : $k^2-1=k^2-1^2=(k-1)(k+1)$
ومنه نعوض قيمة k مربع ناقص واحد في العبارة ــــ*ـــــ
لتصبح من ا لشكل
$k^2(k^2-1)=k^2(k-1)(k+1)=k(k+1)k(k-1)=12\alpha$
من هذه الأخيرة نستخرج قيمة k(k+1)l
فنجد :
$k(k+1)=\frac{12\alpha }{k(k-1)}$
نعوض هذه القيمة الأخيرة في العبارة التالية : $(k+1)^2((k+1)^2-1)={\color{Green} k(k+1)}(k+1)(k+2)$
فتصبح
$(k+1)^2((k+1)^2-1)=\frac{12\alpha }{k(k-1)}(k+1)(k+2)={\color{DarkRed} 12\alpha \frac{(k+1)(k+2)}{k(k-1)}}$
نضع
$\frac{(k+1)(k+2)}{k(k-1)}=M$
تصبح العبارة الأخيرة تساوي $=12\alpha M$
$M.\alpha =\beta$
ومنه العبارة تساوي 12 بيتا
ومنه فإنه من أجل كل عدد طبيعي فإن $n^2(n^2-1)=12\beta$
ـــــ
لست أدري ان كانت الخطوات واضحة
و لست متأكدة تماما من الاجابة
على العموم آمل أن تجدي من يوضح لك الفكرة أكثر و تأكيد الاجابة

بالتوفيق
و السلامــ’ــــ

مُسافر · 2012-09-29, 23:15

يمكننا ان نترجم السؤال الى شكل آخر

اثبت ان المقدار الايسر يقبل القسمة على 12

الان نبدأ الاثبات

من اجل n=0 عوض تجدها صحيحة

افرض صحتها من اجل n=m ثم برهن صحتها من اجل n=m+1
$prove \ that \ : \ 12 | \ (m+1)^2((m+1)^2-1)$

نبدأ
$\frac{(m+1)^2((m+1)^2-1)}{12}=\frac{2 m+5 m^2+4 m^3+m^4}{12} \\ \\ =\frac{{\color{blue} m^2(m^2-1)}+4m^3+6m^2+2m}{12}$

لاحظ المقدار باللون الازرق من الفرض هو يقبل القسمة على 12 اذا علينا اثبات ان المقدار
$4m^3+6m^2+2m$
يقبل القسمة على 12

لدينا
$\frac{4m^3+6m^2+2m}{12}=\frac{2(2m^3+3m^2+m)}{12}=\frac{2m^3+3m^2+m}{6}$

الان علينا اثبات ان
$6 \ |2m^3+3m^2+m$

وهذا نثبته بالبرهان بالتراجع

افرض صحتها من اجل m=0 تجدها محقق

افرض صحتها من اجل m=a الان اثبت صحتها من اجل m=a+1

لدينا

$\frac{2(a+1)^3+3(a+1)^2+(a+1)}{6}=\frac{2a^3+9a^2+13a+6}{6} \\ =\frac{{\color{blue} (2a^3+3a^2+a)}+6(a^2+2a+1)}{6}$

المقدار باللون الازرق يقبل القسمة على 6 حسب الفرض ..المقدار الاخر من الواضح انه يقبل القسمة على 6

وشكرا

manothebest · 2012-09-29, 23:34

سلآم اسلآم
كيف هي الأحوآل معكمـــ’’ــــ؟؟
سلامـــــ’’ـــــــــ

مُسافر · 2012-09-29, 23:39

وهذا اثبات آخر ..باستعمال الموافقات ( تحسبا لو طلب الاثبات بطرق اخرى )

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة manothebest

سلآم اسلآم
كيف هي الأحوآل معكمـــ’’ــــ؟؟
سلامـــــ’’ـــــــــ

اهلا اختي انا الحمد لله ..شكرا على السؤال ..

اتمنى ان تكوني بخير

manothebest · 2012-09-29, 23:46

لآ شكر على وآجب أخي عبقور ههه
أنآ بخير الحمد لله
سلآمــ’’ــــ