أولمبياد منتديات الجلفة: الموضوع 2

BACBAC2015 · 2012-06-22, 09:25

السلام عليكم ، بالنسبة للأعضاء الذين وافقوا في أحد المواضيع السابقة على المشاركة ، إليكم الموضوع الأول
عليكم إدماج جميع معارفكم ومكتسباتكم في سبيل حل الموضوع من متتاليات، تحليل، متراجحات....وخاصة الذكاء.
قد يكون هذا الموضوع نوعا ما صعبا في المتراجحة، لكن المتراجحات بالممارسة تصبح سهلة

ملاحظة: طريقة الإجابة في الأولمبياد تختلف بكثير عن طريقة الإجابة في الرياضيات النظامية المدروسة في القسم، لذا لا داعي للخلط
أرجو التعليق حتى يبقى الموضوع في الواجهة ليتمكن البقية ممكن يحبون هذا النمط من الأسئلة من المشاركة
لا أطيل، إليكم الموضوع، والنقاش بعد المحاولة يكون في هذه الصفحة

هـارون · 2012-06-22, 10:17

شكرا على الموضوع الجديد هذه محاولتي للسؤال الأول :

$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{12}\Leftrightarrow12a+12b=ab \\ \\ \Leftrightarrow a(12-b)=-12b\\ \\ {\color{red}Hence\ :}\ \ b\neq12\\ \\ {\color{blue}then\ :}\ a=\frac{12b}{b-12}=\frac{144}{b-12}+12\\ \\$

نعتبر k قاسما ل 144 (سالب أو موجب)

$k(b-12)=144\Leftrightarrow b=\frac{144}{k}+12\\ \\ \Rightarrow a=k+12$

إذن الحلول كالتالي :

$\begin{cases} a=k+12\\ \\ b=\frac{144}{k}+12 \end{cases}\ \ \ \ {\color{red}with\ :\ }\ \frac{144}{k}\in\mathbb{Z}$

عدد الحلول يساوي عدد القواسم الموجبة و السالبة و هو 28

BACBAC2015 · 2012-06-22, 10:22

بما أن عددها محدود
المطلوب هو الثنائيات (a,b) لأنه عموما إذا كان العدد غير محدود نكتب العبارة العامة للحل

هـارون · 2012-06-22, 10:28

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة bacbac2015

بما أن عددها محدود
المطلوب هو الثنائيات (a,b) لأنه عموما إذا كان العدد غير محدود نكتب العبارة العامة للحل

ههههه هل تريدني أن أكتب 28 ثنائية ؟؟؟

BACBAC2015 · 2012-06-22, 10:32

نعم، بالإمكان الإطلاع على بعض الحلول لأولمبياد روسيا أو غيرها فالأساس في إيجاد العلاقة

لكن يجب التعويض وذكر الثنائيات التي تحقق.

abdoumatador · 2012-06-22, 11:47

(2-6) (3-4)

هـارون · 2012-06-22, 12:10

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة BACBAC2015

نعم، بالإمكان الإطلاع على بعض الحلول لأولمبياد روسيا أو غيرها فالأساس في إيجاد العلاقة

لكن يجب التعويض وذكر الثنائيات التي تحقق.

أخي لم أفهم لما تطلب الثنائيات ؟؟ هل تظن أن كتابتها شيء يتلطب ذكاءا

مجرد تعويض لا أكثر

$\begin{cases}k=1\Rightarrow a=13\Rightarrow b=156\\ \\ k=2\Rightarrow a=14\Rightarrow b=84\\ \\ k=3\Rightarrow a=15\Rightarrow b=60\\ \\ \end{cases}$

كما ترى نعوض فقط لكن 28 ثنائية تأخذ وقت في الكتابة دون فائدة

هـارون · 2012-06-22, 12:49

محاولة للسؤال الثاني :

أولا : $2012=2^2\times503$

لن أكتب اشارة الضرب اختصارا

$1+2012^4+(2012+1)^4=2+2^9503^4+2^8503^3+3\times2^5503^2+2^4503\\ \\ =2(1+2^8503^4+2^7503^3+3\times2^4503^2+2^3503)\\ \\ =2(1+2^4503^2+2^2503)^2=2(1+2012+2012^2)^2$

نعود للمقام :

$1+2012^2+(2012+1)^2=2+2^5503^2+2^3503\\ \\ =2(1+2^4503^2+2^2503)=2(1+2012+2012^2)$

و انتهي الأمر

$\frac{1+2012^4+2013^4}{1+2012^2+2013^2}=\frac{2(1+2012+2012^2)^2}{2(1+2012+2012^2)}=1+2012+2012^2$

هـارون · 2012-06-22, 14:08

هل التمرين الثاني يتطلب استخدام الموافقات ؟؟

هـارون · 2012-06-22, 14:54

التمرين الثاني :

العبارة التي أمامها "لا يوجد حل" أقصد لا يوجد حل يوافق الشروط المعطاة

أما الثانية فنحلها عاديا :

$297=39b-6c\Leftrightarrow c=\frac{39b-297}{6}\\ \\ \Leftrightarrow c= 6b-49+\frac{b-1}{2}\\ \\ b=2n+1 \Rightarrow c=13n-43 \\ \\ b<10 \Rightarrow n\leq4 \\ \\ c>0 \Rightarrow n \geq 4 \\ \\ \\ n=4 \Rightarrow b=c=9$

إذن العدد كالتالي : $1997$

BACBAC2015 · 2012-06-22, 15:04

التمرين الثاني صحيح جيد أخي، وفقك الله، لكن توجد طريقة أخرى، لأن في التمرين الأصلي كانت 2007 و2008 وليس 2012 و2013
وبالتالي قد تجد مشكلة في كتابة 2007 مثلا على شكل جداء ما يساعدك في الحل
بالنسبة للتمرين الأول السؤال 1): الذكاء لا يوجد حتى لا في الأول ولا في التعويض، حلك جد موفق أخي، لكن أنا أتحدث عن الإجابة الكاملة

التمرين الثاني: يعني، تعتمد عليها بالطبع

BACBAC2015 · 2012-06-22, 15:07

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مبتدئ الرياضيات

التمرين الثاني :

العبارة التي أمامها "لا يوجد حل" أقصد لا يوجد حل يوافق الشروط المعطاة

أما الثانية فنحلها عاديا :

$297=39b-6c\Leftrightarrow c=\frac{39b-297}{6}\\ \\ \Leftrightarrow c= 6b-49+\frac{b-1}{2}\\ \\ b=2n+1 \Rightarrow c=13n-43 \\ \\ b<10 \Rightarrow n\leq4 \\ \\ c>0 \Rightarrow n \geq 4 \\ \\ \\ n=4 \Rightarrow b=c=9$

إذن العدد كالتالي : $1997$

برافو رائع أخي

BACBAC2015 · 2012-06-22, 16:35

السلام إليكم حل التمرين الأول:
(يمكن مناقشته في حال نسيان بعض الثنائيات)

BACBAC2015 · 2012-06-22, 16:43

عذرا الثنائية الأخيرة (28;21)

هـارون · 2012-06-22, 20:36

التمرين الثالث :

لم أجد طريقة رياضية خالصة لحله لذا استخدمت الملاحظة :

$\begin{cases} a_1=1=2\times 2^{-1}\\ \\ a_2=3=3\times 2^0\\ \\ a_3=8=4\times 2^1\\ \\ ..... \\ \\ a_n=(n+1)2^{n-2} \end{cases}$

يكفينا اثبات هذه العلاقة ليصبح الحل رياضي تماما :

$2^{n-1}=\frac{a_1+a_2.....a_n}{n-1}$

في انتظار طريقتك ==|