السلام عليكم
طريقة اولى
لاثبات بالبرهان بالتراجع ان المتتالية Un ثابتة نبرهن ان :Un+1=Un
نضع P (n ) :Un+1=Un
1/ نتاكد من صحة الخاصية من اجل اصغر قيمة ل n
مثلا لو يكون n ينتمي الى N فان اصغر قيمة ل n هي 0 بالتالي نتاكد ان U1=U0 فنقول ان ( P (0 صحيحة
لو يكون n ينتمي الى *N فان اصغر قيمة ل n هي 1 بالتالي نتاكد ان U2=U1 فنقول ان ( P (1 صحيحة
2/ نفرض ( P (n صحيحة ونبرهن ان (1+P (n اي ان 1+Un+2=Un
ننطلق من الفرضية ان Un+1=Un ونثبت ان 1+Un+2=Un بالتالي (1+P (n صحيحة
منه باستعمال البرهان بالتراجع فان Un+1=Un بالتالي Un ثابتة
وعليه نستنتج ان Un=U0 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 0
او Un=U1 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 1
طريقة ثانية
Un ثابتة معناه Un+1 =Un=...=U0 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 0
Un+1 =Un=...=U1 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 1
وبمان قيمة U0 او U1 تكون معلومة فانه يكفي برهان ان Un=U0 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 0 او Un+1 =U1 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 1
بالتالي نضع P (n ) :Un=U0 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 0 او P (n ) :Un=U1 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 1
1/ نتاكد من صحة الخاصية من اجل اصغر قيمة ل n
مثلا لو يكون n ينتمي الى N فان اصغر قيمة ل n هي 0 بالتالي نتاكد ان U0=U0 فنقول ان ( P (0 صحيحة
لو يكون n ينتمي الى *N فان اصغر قيمة ل n هي 1 بالتالي نتاكد ان U1=U1 فنقول ان ( P (1 صحيحة
2/ نفرض ( P (n صحيحة ونبرهن ان (1+P (n اي ان Un+1=U0 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 0 او ان Un+1=U1 اذا كان اصغر قيمة ل n هي 1صحيحة
منه باستعمال البرهان بالتراجع فان Un=U0 او Un=U1 بالتالي Un ثابتة