منتديات الجلفة لكل الجزائريين و العرب - عرض مشاركة واحدة - مسيرة سنة : تمارين قوية في : النهايات+المتتاليات+معادلات

هـارون · 2012-07-25, 13:46

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة energie19

التمرين الثالث :

اذا كان لدينا

$p(x)=x^6-x^5-x^3-x^2-x \\ \\ and \\ \\ q(x)=x^4-x^3-x^2-1$

و $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ جذور لـ $q(x)$

اوجد : $p(z_{1})+p(z_{2})+p(z_{3})+p(z_{4})$

الجزء الأول :

$P(x)=x^6 -x^5 -x^3-x^2-x \\ \\ P(x)=(x^6-x^5-x^4-x^2)+(x^4-x^3-x^2-1)+(x^2 -x +1) \\ \\ P(x)=Q(x)(x^2+1)+x^2-x+1\\ \\ \\ Q(z_1)=Q(z_2)=Q(z_3)=Q(z_4)={\color{blue}0} \\ \\ \\ \sum_{n=1}^{4}P(z_n)=\sum_{n=1}^4 z_n^2-z_n+1 \\ \\ \\$

تفاديا للازعاج و لضيق الوقت سأكتب a,b,c,d بدل z :

$\\ Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\\ \\ \\ Q(x)=x^4-(a+b+c+d)x^3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x^2-(acd+.....)x-abcd \\ \\ \\ \begin{cases}u=a+b+c+d=1 \\ \\ w=ab+ac+ad+bc+bd+cd=-1 \\ \\ \end{cases}\\ \\ \\ a^2+b^2 +c^2 +d^2 =u^2-2w =3 \\ \\$

و أخيرا :

$\\ P(a)+P(b)+P(c)+P(d)=(a^2+b^2+c^2+d^2)-(a+b+c+d)+4 \\ \\ \\ P(a)+P(b)+P(c)+P(c)= 3-1+4 = \color{red}6$