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كتاب رياضيات: contre exemples


Les contre_exemples en mathmatiques 522 Contreexemples
Bertrand Hauchecorne

Contre-exemple, ce terme fait parfois sourire car il rappelle quelque
fonction farfelue proposée aux étudiants pour les mettre en garde contre
Vemploi abusif d'un théorème, mais il ne semble pas digne d'intérêt car
il ne traite pas le cas général, et il est pour cela relégué au registre des
divertissements. Sans enlever au contre-exemple cette dernière qualité, nous
désirons par cet ouvrage montrer sa valeur mathématique et sa vertu
pédagogique.
Qu'est-ce qu'un contre-exemple ?
Le contre-exemple n'est pas l'exception qui confirme la règle du bon sens
commun. Un théorème est valable dans tous les cas où les hypothèses qu'il
impose sont vérifiées. La négation d'un énoncé, c'est-à-dire l'affirmation
qu'il est faux, est démontrée par l'existence d'un cas où ses hypothèses sont
vérifiées sans que la conclusion le soit, ce qui s'exprime dans le langage de la
logique par le fait que nier la proposition "Pour tout x, P(x)" c'est affirmer
l'assertion "Il existe au moins un x tel que non(P(x))". La justification
mathématique de la fausseté d'un énoncé est la donnée d'un contre-exemple.
La recherche d'une quelconque généralité est inutile et même erronée au
niveau de la démarche.

A qui s'adresse cet ouvrage ?
Un grand nombre d'exemples sont accessibles aux étudiants des classes
préparatoires aux grandes écoles scientifiques ou des deux premières années
de licence de mathématiques; d'autres manient des notions plus délicates
et intéresseront les étudiants de troisième année de licence et de master en
mathématique, ou ceux qui préparent les concours du professorat.
Cet ouvrage permettra aux étudiants d'approfondir l'enseignement de
mathématiques qu'ils reçoivent, à ceux qui préparent les concours menant
à l'enseignement des mathématiques, CAPES et Agrégation, d'enrichir une
leçon et aux enseignants de trouver des thèmes d'exercices ou de problèmes.
Plus généralement, il intéressera tous ceux qui veulent approfondir leur
réflexion sur les notions de définition, d'hypothèse ou de théorème. Il
apportera surtout, je l'espère, bien du plaisir à ceux qui partagent avec
moi cette curiosité permanente pour les mathématiques.


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