[وليـــــد]

التمرين الثاني:
إذا كانت درجات 30 طالب في أحد الاختبارات كالتالي:

الدرجة
4
6
7
9
10
العدد
6
8
10
4
2

أوجد متوسط درجات هؤلاء الطلبة والانحراف المعياري؟
التمرين الثالث:
الجدول الآتي يبين أرباح الشركتينX، Y لفترة ما بملايين الدينارات، أي الشركتين أفضل في نظرك ولماذا؟

الشركة X
10
50
45
65
10
الشركة Y
40
30
35
40
35

التمرين الرابع:
في دراسة قام بها أحد الباحثين تبين أن متوسط دخول عمال وحدة الشرق لمؤسسة ما قبل الضريبة وصل إلى 251 ألف دينار بانحراف معياري 32.5 ألف دينار.
المطلوب:
1) كيف سيتغير متوسط دخل العمال والانحراف المعياري إذا فرضت ضريبة موحدة على جميع العمال قدرها 12.5 ألف دينار؟.
2) كيف سيتغير متوسط دخل العمال والانحراف المعياري إذا فرضت ضريبة بمعدل 12.5% على كل العمال؟.
3) إذا علمت أن متوسط دخول عمال وحدة الغرب والانحراف المعياري لدخولهم بلغت 150.5 ألف دينار و45 ألف دينار على التوالي، وأن عمال وحدة الغرب لهذه المؤسسة يمثلون ( ) مجموع عمال المؤسسة، أحسب متوسط دخول كل عمال المؤسسة والانحراف المعياري لهذه الدخول؟.
التمرين الخامس:
إذا كان متوسط درجة الحرارة لمدينة ما هو 25°م بانحراف معياري 3°، أوجد المتوسط والانحراف المعياري بالدرجات الفهرنهايتية إذا كانت العالاقة بينهما هي:
الدرجة الفهرنهايتية = (32+1.8 الدرجة المئوية).
التمرين السادس:
إذا عملت أن معامل الاختلاف لإنتاج أحد المصانع في فترة ما هو 20%، أوجد عدد أيام هذه الفترة إذا كان الانحراف المعياري للإنتاج هو 10 ومجموع إنتاج الفترة يساوي 500 وحدة؟.

حل تمارين الفصل الثالث

حل التمرين الأول:

العمر
العدد

Xi

niXi

0-10
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
60-70
70-80
80-90
1
3
10
14
18
34
12
6
2
5
15
25
35
45
55
65
75
85
5
45
250
490
810
1870
780
450
170
43.7
33.7
23.7
13.7
3.7
6.3
16.3
26.3
36.3
43.7
101.1
237
191.8
66.6
214.2
195.6
157.8
72.6
المجموع
100

4870

1280.4

متوسط العمر سنة
الانحراف المتوسط سنة
أي أن متوسط العمر الذي أصيب فيه الأشخاص بمرض السكري لأول مرة هو 48.7 سنة بانحراف معياري 12.8 سنة
حل التمرين الثاني:

الدرجة
العدد
niXi
Xi²
niX²i
4
6
7
9
10
6
8
10
4
2
24
48
70
36
20
16
36
49
81
100
96
288
490
324
200
المجموع
30
198

1398

أي أن متوسط درجات هؤلاء الطلبة يساوي 6.6 بانحراف معياري 1.74

حل التمرين الثالث:

Xi
Xi²
Yi
Yi²
10
50
45
65
10
100
2500
2025
4225
100
40
30
35
40
35
1600
900
1225
1600
1225
180
8950
180
6550

متوسط أرباح الشركة (X)
متوسط أرباح الشركة (Y)

على الرغم من أن متوسط أرباح الشركتين متساوي خلال الفترة إلا أن أرباح الشركة (Y) أقل تشتتا (أكثر استقرار) من أرباح الشركة (X) وهذا ما يجعل الشركة (Y) أفضل بالنسبة للمستثمرين.
حل التمرين الرابع:
1) نعرف من خواص الانحراف المعياري أنه إذا أضيفت قيمة ثابتة (أو طرحت قيمة ثابتة) لجميع بيانات الظاهرة فإن الانحراف المعياري لا يتغير، كما نعرف من خواص المتوسط الحسابي أنه إذا أضيفت قيمة ثابتة (أو طرحت قيمة ثابتة) لجميع قيم الظاهرة فإن المتوسط الحسابي لبيانات الظاهرة يزداد (أو ينقص) بنفس القيمة، وبالتالي:
عند فرض ضريبة ثابتة (t) فإن قيم الظاهرة تصبح

Yi= Xi-t

ومنه فإن متوسط الأجور بعد فرض يصبح

أما الانحراف المعياري للدخول الجديدة
Sy=Sx = 32.5
أي أن عند فرض ضريبة موحدة على جميع العمال قدرها 12.5 ألف دينار فإن متوسط الدخول يصبح 112.5 ألف دينار بانحراف معياري 32.5 ألف دينار.
2) نعرف من خواص الانحراف المعياري أنه إذا ضريت جميع قيم الظاهرة (قسمت جميع بيانات الظاهرة) في قيمة ثابتة (a)، فإن الانحراف المعياري يضرب (يقسم على) في نفس القيمة، كما نعرف من خواص المتوسط الحسابي أنه إذا ضربت (قسمت) جميع قيم الظاهرة في قيمة ثابتة ، فإن المتوسط الحسابي يضرب في (يقسم على) نفس القيمة، وبالتالي:

عند فرض ضريبة بمعدل ثابت فإن
ومنه
بالتعويض عن قيمة t

ومنه فإن متوسط الأجور بعد فرض الضريبة يصبح

أما الانحراف المعياري فيصبح
أي أنه إذا فرضت ضريبة بمعدل موحد t=12.5% على جميع العمال فإن متوسط أجور العمال يتغير إلى 109375 دينار بانحراف معياري قدره 28437.5 دينار.
3) يمكن تمثيل ما جاء في السؤال الثالث في الشكل التالي:

وحدة الغرب

المؤسسة

وحدة الشرق

عند اعتبار وحدة القياس هي 1000 دينار فإنه يمكن حساب متوسط دخول المؤسسة باستخدام علاقة المتوسط الحسابي المرجح، حيث

أما بالانحراف المعياري فيمكن حساب بالعلاقة التالية:

أي أن متوسط دخل عمال المؤسسة ككل هو 142 ألف دينار بانحراف معياري قدره 42972 دينار.
حل التمرين الخامس:
متوسط درجة الحرارة المئوية
متوسط درجحة الحرارة الفهرنهايتية
الانحراف المعياري بالدرجات المئوية °
الانحراف المعياري بالدرجة الفهرنهايتية =
علاقة الدرجة الفهرنهايتية بالدرجة المئوية yi= 1.8 Xi + 32
وبتطبيق خواص المتوسط الحسابي والانحراف المعياري فإن

متوسط درجة الحرارة على سلم فهرنهايت = °
Sy = 1.8 Sx = 1.8x3 =
الانحراف المعياري عندما تقاس الحرارة Sy = 5.4
بمقياس فهرنهايت.

الانحراف المعياري

المتوسط الحسابي

× 100

حل التمرين السادس:
معامل اختلاف =
ومنه عدد أيام الفترة = 10 أيام = n.

) أنظر خواص المتوسط الحسابي.*(

(* ) يفضل العلاقة المختصرة لسهولة الحسابات ولأنها تتعامل مع القيم الأصلية بدلا من انحرافاتها عن المتوسط الحسابي.

(**) في حالة العينات الصغيرة (n<30) فإنه يمكن استخدام العلاقة