مادا نقصد بالاشتقاقية ؟؟
ما دا نعني لما نقول مثلا ان الدالة f تقبل الاشتقاق عند قيمة معينة ؟؟
حسنا يوجد مفهوم العدد المشتق لن نتطرق اليه و لكنكم ستدرسونه مع المعلم . سنحاول ان نفهم الان معنى الاشتقاقية هندسيا ؟؟
لما نقول اشتقاقية ؟؟ اي من الفعل اشتق بمعنى استخرج و انبثق .
اليك المنحنى التالي :
لاحظوا جيدا اننا من اجل القيمة a استطعنا ان نرسم مماسا للمنحنى في تلك النقطة .
لدلك نقول ان الدالة المبينة في الصورة قابلة للاشتقاق عند القيمة a . و قيمة العدد المشتق عند العدد a هو نفسه معامل توجيه دلك المماس .
مثال :
المماس دائما يكون عبارة عن مستقيم معادلته تالفية من الشكل : y = mx +b و معامل توجيهه هو m
فنفرض مثلا اننا استطعنا رسم مماس للمنحنى عند القيمة a ووجدنا ان المماس معادلته هي : y = -3 x -2
فنقول :
الدالة f قابلة للاشتقاق عند العدد a و يساوي المشتق عند هده القيمة 3- .
في المثال المدروس الدالة قابلة للاشتقاق من اجل كل القيم التي تنتمي للمنحنى . معناه من اجل كل قيمة يمكن ان نرسم مماسا .
إضغط هنا لرؤية الصورة بحجمها الطبيعي.
المماس هو عبارة عن دالة تالفية و كاننا استطعنا استخراج و اشتقاق دالة تالفية من منحنى الدالة عند القيمة المعطاة .
لاحظوا اعلاه ان الدالة قابلة للاشتقاق من اجل كل قيمة تنتمي الى مجموعة تعريفها
هل فهمتم ؟؟؟
حسنا بعد مافهمنا مفهوم الاشتقاقية هندسيا سنعود الان الى مفهومها جبريا :
حسنا كل دالة لها دالة مشتقة . و الدوال المقررة لهده السنة كلها فهي دوال مشتقة على مجموعة تعريفها .
حسنا يوجد برهان بسيط يسمح بايجاد مشتقة كل دالة و لكن ستقومون به مع الاستاد لاننا هنا لا نستطيع لغياب الرموز و صعوب استخدام الكسور .
سنتوصل في الاخير الى جدول يجب حفظه و هو يشمل الدوال و مشتقاتها .
اليكم الجدول و هو يشمل بعض الدوال مع مشتقاتها ثم سنقوم ببعض الامثلة :
إضغط هنا لرؤية الصورة بحجمها الطبيعي.
الدالة المشتقة يرمز لها بالرمز : f'(x) = derivee
نضيف تلك الاشارة فوق رمز الدالة
حسنا الدالة مربع مثلا معرفة على r
معناه يمكننا ان نجد مشتقة الدالة عند كل قيمة من r
الدالة مقلوب معرفة على r ماعدا الصفر
معناه يمكننا ان نجد مشتقة اي عدد بهده الدالة سوى العدد 0 لان الصفر قيمة ممنوعة
بلى يا سمية و لكن من اجل ايجاد مشتقة باقي الدوال نستعين بمشتقة الدوال البسيطة .
حسنا من خلال الجدول :
اوجد مشتقة الدوال التالية :
f(x) = 5 ; g(x) = 100 : h(x) = 8
لما تكون دالة تساوي عدد فان مشتقتها هي الصفر
لدلك : f'(x) = 0 : g'(x) = 0 ; h'(x) = 0
حسنا الان لما تكون دالة من الشكل ax+b فان مشتقتها هي a
تطبيق :
اوجد مشتقة الدوال التالية :
f(x) = 2x+5 ; g(x) = 3/2 x +5 ; h(x) = -5x+4 ; m(x) = x
f'x=2
g'x=3/2
h'x=-5
m'x=1
لما تكون دالة من الشكل التالي f(x) = x² مثلا فان مشتقتها هي 2x
و الدالة مكعب مشتقتها هي 3x²
كما هو موضح في الخاصية 4 من الجدول . هل هدا واضح ؟؟
مشتقة الدالة مقلوب f(x) = 1/x هي f'(x) = - 1 /x²
مشتقة الدالة جدر هي : f'(x) = 1/2racine de x
كما هو موضح في الخاصية 5 و 7 من الجدول
الان مشتقة الدالة sin هي cos
مشتقة الدالة cos هي f'(x) = - sin x
الان ادا اعطيت لنا دالة وهي مجموع دالتين وطلب منا اعطاء مشتقتها فاننا نقوم كما يلي :
f(x) = u + v
f'(x) = u' + v' معناه نشتق كل دالة و نجمعها
تطبيق :
اعط مشتقة الدالة التالية :
f(x) = 5 x +4 + racine de x
F’=5+1/2racine x
اليكم الصورة :
مادا تلاحظ ؟؟؟ مادا تستنتج حول الفائدة من دراسة مشتقة الدالة و تطبيقاتها ؟؟؟
حسنا بالنسبة لملاحظتكما يا هالا و يا سمية فهي في محلها .
لما تكون الدالة المشتقة موجبة فان الدالة متزايدة
لما تكون الدالة المشتقة سالبة فان الدالة متناقصة .
ادن في بعض الاحيان يصعب علينا دراسة اتجاه تغير بعض الدوال لدلك نلجا الى ايجاد مشتقتها . نقوم بعد دلك بدراسة اشارة المشتقة . فان كانت موجبة قلنا انها متزايدة و ادا كانت سالبة قلنا انها متناقصة .
مثال :
لدينا الدالة مربع عبارتها : f(x) = x²
مشتقتها هي : f'(x) = 2x
نلاحط ان المشتقة موجبة على المجال )00+ , 0) منه فالدالة متزايدة في هدا المجال.
نلاحظ ان المشتقة سالبة على المجال (0 ; 00 - ( منه فالدالة متناقصة على هدا المجال
مثال 02 :
لدينا الدالة f(x) = 2x+ 5
مشتقتها هي : f'(x) = 2
المشتقة دائما موجبة معناه الدالة متزايدة على R
مثال 03. :
لدينا الدالة مكعب مشتقتها 3x²
المشتقة دائما موجبة لانها جداء مربع في عدد موجب و منه الدالة مكعب متزايدة على R
حسنا سنكمل بعد دلك كيفية ايجاد مشتقة الدوال الاخرى .