[*الراجي عفو الله*]

السلام عليكم

دراسة دالة صماء

01 )

دراسة اتجاه تغير الدالة g

حساب نهايتيg(x)عند ¥ - و عند¥ +

lim(1 + x2)= + ¥

x à - ¥

lim √ (1 +x2) = + ¥

xà - ¥

lim - √ (1 +x2) = - ¥

xà - ¥

lim(2x) = - ¥

xà - ¥

lim( 2x – √ (1 + x2 ) )= - ¥

xà - ¥

lim(1 + x2)= + ¥

x à + ¥
lim √ (1 +x2) = + ¥

xà + ¥

lim - √ (1 +x2) = - ¥

xà + ¥

lim(2x) = + ¥

xà + ¥

g(x) = (2 x - √ (1 + x 2 ) )( 2 x + √ (1 + x 2 )) / (2 x + √ (1 + x 2 ))

g(x) = (4x2 – (1 – x2 ) ) / (2 x + √ (1 + x 2 ))

g(x) =( 3x2 – 1 ) / (2 x + √ (1 + x 2 ))

x > 0

g(x) = (3x- (1 / x )) / ( 2 +√ ((1/x) + 1) )

lim(1/ x ) = 0

xà + ¥

lim(3x – ( 1 / x ) ) = + ¥

xà + ¥

lim( 2 +√ ((1/x) + 1) ) = 3

xà + ¥

lim g(x) =lim( (3x- (1 / x )) / ( 2 +√ ((1/x) + 1) ) )= +¥

xà + ¥ xà + ¥

g’(x) حساب
تفبل الإشتقاق على مجموعة الأعداد الحقيقية و Gالدالة
G ‘(x) = 2 – x / √ ( 1 + x2 )
= (2 √ ( 1 + x2 ) – x ) / √ ( 1 + x2 )
هي إشارة g’(x) إشارة
(2 √ ( 1 + x2 ) – x )
X< 0
- x> 0
(2 √ ( 1 + x2 ) – x ) > 0
X > 0
- x < 0
لكن
1+ x2 > x2
√ ( 1 + x 2 ) > ( - x ) > x
بالتالي
(2 √ ( 1 + x2 ) – x ) > 0
من مجموعة الأعداد الحقيقيةX من أجل كل
G’(x) > 0

جدول التغيرات

X

- ¥ 1 / √3 + ¥

g'(x)

+

g(x)

- ¥↗ 0 ↗ 3

الدالة g مستمرة ومتزايدة تماما على R وتأخذ قيمها في المجال - , 3 الذي يشمل العدد 0
يوجد عدد حقيقي وحيد aبحيث يكون G(a ) = 0
إذن المعادلةg(x) = 0 تقبل حلا وحيدا a
تعيينa
g(x) = 2 x - √ (1 + x 2 )
G(a ) = 0 يكافئ 2a – √ (1 + a2 ) = 0
2a =√ (1 + a2 )

a < 0
المعادلة لا تقبل حلا

a>0

2a =√ (1 + a2 ) يكافئ 4a 2 = 1 + a2
ومنه 3a2 = 1
بالتالي a 2 = 1 / 3
وبما أن a>0 فإن a = 1 /√ 3
استنتاج إشارة g(x)
استنتاج إشارة g(x)

Xخ] - ∞ , 3 √ / 1 [
G(x) < 0
Xخ[ 1 / √3 , +∞[
G(x) > = 0
02
عند f دراسة نهايتي الدالة
+ ∞و عند- ∞

f(x) = 2 √ ( 1 + x2)
im(- x)= + ¥
x à - ¥
im(1 + x2)= + ¥
x à - ¥
lim ( √ (1 +x2) ) = + ¥
xà - ¥
lim 2 √ (1 +x2) = + ¥
xà - ¥
lim ( 2 √ (1 +x2) - x ) = + ¥
xà - ¥

lim f(x) = + ¥

xà - ¥
lim (1 + x2)= + ¥
x à+ ¥
lim √ (1 +x2) = + ¥
xà + ¥
lim 2 √ (1 +x2) = + ¥
xà+ ¥
im (- x ) = - ¥
xà + ¥

نصادف حالة عدم تعيين
f(x) = [( 2 √(1 + x2 ) - x )( 2√ ( 1 + x2 ) + x) ] / [2√ ( 1 + x2 ) + x ]
= ( 4 + 3 x 2 ) / [ 2√ ( 1 + x2 ) + x ]
= [(4 / x ) + 3 x ] / [ 2√ ((1 / x2) + 1 ]
lim f(x) = + ¥

xà+ ¥
لنبين أنه من أجل كل x من R:
f ‘(x) = g(x) / √ (1+x2)

f(x) = 2 √ ( 1 + x2) - x
f '(x) = 2x / √( 1 + x2 ) - 1
= ( 2x - √(1 + x 2 )) / √( 1 + x2 )
= g(x) / √( 1 + x2 )
f استنتاج دول تغيرات الدالة
g(x)هي إشارة f ’ (x) إشارة

X

- ¥ 1 / √3 + ¥

f'(x)

- 0 +

f(x)

+ ¥↘ f(1/ √3) ↗ +¥

lim[ f(x) + 3 x ]حساب
x--> - ∞
lim[ f(x) + 3 x ]= lim [ 2 √( 1 + x2 ) + 2 x[ = lim[4 / √ ( 1 + x2 ) - 2 x] = 0
x--> - ∞ xà- ∞ xà- ∞
التفسير الهندسي للنتيجة المحصل عليها
∞ مستقيم مقارب مائل عند - (Cf)لـ
معادلة له y = - 3 x
+ ∞ عند f مستقيم مقارب للمنحني الممثل للدالة ( D’) لنبين أن المستقيم
Lim] f(x) – x[ = lim [ 2 √( 1 + x2 ) - 2 x[ = lim[4 / √ ( 1 + x2 ) + 2 x] = 0
xà + ∞ xà + ∞ xà + ∞
دراسة وضعية
(D) بالنسبة إلى (Cf)
f(x) + 3 x = 2√ (1+ x2 ) – 2 x
f(x) + 3 x > 0
( D’ ) فوق (Cf)
( D ) بالنسبة إلى (Cf)
f(x) – x = > 0
( D) فوق (Cf)
( D) ،(D’) و ( Cf) رسم

ï»


ملاحظة
¥ = مالانهاية

xà ... ¥.=إكس يؤول إلى

مكان ... زائد او ناقص
وحرف الخاء هذاك وضع فقط لكتابة المجال ومعناه ينتمي إلى


https://z008bs.jeeran.com/maths123/etfir.html

وفقك الله


سلام