[**رشا**]

السلام عليكم و رحمة الله تعالى و بركاته

نعتبر لدالة f المعرفة على] 0 , +  ] بـ
f n(x) = (1 + x ) n -1 – n x
أدرس اتجاه تغير الدالة fn على المجال ]0 , +  ]
اثبت صحة متباينة برنولي التالية
من أجل كل x من ]  0 , + ] ومن أجل كل n من N
: (1 + x) n  1 + nx
إجابة
دراسة اتجاه تغير الدالة fnعلى المجال]0 , +  ]
f n( 0 ) = (1 ) n -1 = 0

Lim fn(x) = 0
x>0
x 0

Lim fn(x) = lim x n = +

x  +  x  + 
) يمكن التحقق من أن lim x n = +  باستخدام البرهان
x + 
بالتراجع )
حساب fn’(x)
fn تقبل الإشتقاق على المجال ]  0, + ]
fn’(x) = n(1+x)n-1 – n
1 + x  1
(1 + x )n-1  1
n(1 + x )n-1  n
n(1 + x )n-1 – n  0
إذن fn’(x)  0
بالتالي الدالة f متزايدة تماما على المجال]  0, + ]
جدول التغيرات
+ 0 x
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
+ fn'(x)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
+ متزايدة 0 fn(x)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
إثبات صحة متباينة برنولي
من أجل كل x من المجال] 0 , +  ]
(1 + x ) n  1 + nx
من جدول التغيرات نستنتج أن:
من أجل كل x من المجال]0 , +  ] و من أجل كل عدد طبيعيn :
fn(x)  0
أي
(1 + x ) n -1- nx 0
بالتالي (1 + x ) n  1 + nx