1 ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ n ﻴﻜﻭﻥ :
1
3 4
n n
u u . +
= +
1) ﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ n ، ﻴﻜﻭﻥ 2
n
. u ≤
ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل n = 0 :
0
. ﻤﺤﻘﻘﺔ u = − ≤ 1 2
ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ 2
n
. u
n+1
≥ u ﻭﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ 2 ≥
2
n
≥ u ﺘﻜﺎﻓﺊ
1 4 2 4
3 3 3 3
n
. u
n+1
≤ 2 ﻭﻤﻨﻪ u + ≤ +
(2
1
1 4
3 3
n n
u u . +
= +
1
2 4
3 3
n n n
u u u ﻓﺈﻥ u
n
+ . ﺒﻤﺎ ﺃﻥ 2 ≥
− = − +
2 4
0
3 3
n
− u + ≥
ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( )
n
u ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ .
3) ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( )
n
u ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻭﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻓﻬﻲ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ .
0
ﻭ u = 2
1
1
2
3
n n
u u +
= +
(1
1
2 8
2
3 3
2
. u = + =
8 26
2
9 9
3
. u = + =
26 80
2
27 27
. u = + =
2) ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ n ﻨﻀﻊ : 3
n n
. v u = −
ﺃ)
1 1
1 1
3 1
3 3
n n n n
v u u v + +
= − = − =
ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( )
n
v ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ
1
3
ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل
0
.v = −1
ﺏ)
n
: n ﺒﺩﻻﻟﺔ v
0
1
3
n
n
n
v v q
⎛ ⎞
= × = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ
n
: n ﺒﺩﻻﻟﺔ u
1
3 3
3
n
n n
u v
⎛ ⎞
= + = − + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
ﺝ) ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( )
n
lim 3 ﻭ q ∈] ] −1;1 ﻷﻥ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ u
n
n
u
→+∞
. =
ﺩ)
1 1
1
1 1 1
3 3 2 0
3 3 3
n n n
n n
u u
+ −
+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = − + + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
;
ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( )
n
u ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ .
ﻥ 01.5
01 ﻥ
ﻥ 0.5
ﻥ 01.5
01 ﻥ
ﻥ 0.25
ﻥ 0.25
ﻥ 0.5
ﻥ 0.5
03 ﻥ
04 ﻥ 4/2
ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ
ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ
ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ
ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ
Cf ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ f ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ] [ ] ; 1 1 ; ∞ + − ∪ − ∞−[ ، ( )
ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ
ﻭﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ ﻤﻌﻁﻰ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ :
x − ∞ −1 +∞
+∞ +∞
2 2
f ( x)
1 Cf) ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ y = 2 ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ( )
.
ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ : ( ) lim 2
x
f x
→+∞
. =
2) ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ f x ( ) = 0 ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﻭﺤﻴﺩﺍ .
. f x ( ) ; 2 : x ≠ −1 ﻟﻜل : ﻷﻥ ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻋﺒﺎﺭﺓ
3)ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ f x ( ) ; 0 ﻫﻲ:
S = ]− ∞ − ∪ − + ∞ ; 1 1 ; [ ] [
. f x ( ) ; 0 : x ≠ −1 ﻟﻜل ﻷﻥ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻋﺒﺎﺭﺓ
. x ≺ −2 ﻴﻜﻭﻥ ﻋﻨﺩﻤﺎ f (−2) ; f x ( ) :ﻴﻜﻭﻥ ]−∞ − ; 1[ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﻓﻲ (4
ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ : ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]1 ; − ∞−[ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ f ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ .
( ) ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺇﻟﻰ ﺘﻨﺘﻤﻲ A(−3;1) ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ (5 Cf
.
ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻷﻥ : ; ( f (−3 2
6) ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ f ﺯﻭﺠﻴﺔ .
ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻷﻥ: ] [ ] ; 1 1 ; ∞ + − ∪ − ∞−[ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ 0 .
( ) (Ι
3
. g x x x = − + 3 2
1) ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ x : ( )( ) ( )
2
. g x x x x = − + − 1 2
. h x x g x ( ) = ( ) : ﺤﻴﺙ h x ( ) ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻜﺜﻴﺭ ﺇﺸﺎﺭﺓ (2
−∞ −2 0 1 +∞
x
- - - 0 +
x −1
+ 0 - - 0 + 2
x + − x 2
g x ( ) - 0 + + 0 +
- - 0 + +
x
h x ( ) + 0 - 0 + 0 +
( ) (ΙΙ
3 2
2
x x x3 1
f x
x
+ + −
=
ﻥ 0.5
ﻥ 0.5
ﻥ 0.25
ﻥ 0.25
ﻥ 0.25
ﻥ 0.25
ﻥ 0.25
ﻥ 0.5
ﻥ 0.25
02 ﻥ
03 ﻥ 4/3
1) ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ x ﻤﻥ
*
( ) : R
( )
4
h x
f x
x
. ′ =
2) ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ f :
ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ :
ﺇﺸﺎﺭﺓ (f ′( x ﻫﻲ ﺇﺸﺎﺭﺓ ( ) h x ﻓﻲ
*
. R
ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ :
−∞ −2 0 1 +∞
x
( ) + 0 - + 0 +
f ′ x
+∞
−∞
11-
−∞ −∞
f ( x)
Cf ﻤﻘﺎﺭﺏ 3) ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ( )
ﻴﻘﺒل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻋﻤﻭﺩﻱ : x = 0 ﻭﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ
. (∆) : 1 y x = + :ﻤﺎﺌل
4 Cf) ﻭﻀﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ( )
ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺎﺌل .
( ) ( ) 2
3 1
1
x
f x x
x
−
− + =
ﻤﻥ ﺃﺠل ] [
1
; 0 0 ;
3
x
⎤ ⎡
∈ −∞ ∪
⎥ ⎢
⎦ ⎣
Cf ﺘﺤﺕ ∆( ) ﻴﻜﻭﻥ ( )
.
ﻤﻥ ﺃﺠل
1
;
3
x
⎤ ⎡
∈ + ∞
⎥ ⎢
⎦ ⎣
Cf ﻓﻭﻕ (∆) ﻴﻜﻭﻥ ( )
.
ﻤﻥ ﺃﺠل
1
3
Cf) ﻴﻘﻁﻊ (∆) .
) : x =
5) ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ f x ( ) = 0 ﺘﻘﺒل ﺤل ﻭﺤﻴﺩ αﺤﻴﺙ :
1 1
4 2
. ≺ ≺ α
6 Cf) ﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ( )
.
-5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
0 1
1
x
y
ﻥ 0.25
ﻥ 0.25
ﻥ 0.25
ﻥ 0.25
ﻥ 0.25
ﻥ 0.25
ﻥ 0.54/4
ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ
ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ
ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ :
1) ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻫﻭ ( )
1 3 2 1 23
3 7 3 3 63
P R = × + × =
2 V1) ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ
ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻫﻭ
( )
( )
( )
1
1
1 3
3 7 1 63 9
23 7 23 23
63
R
P R V
P V
P