www.
المتتاليات العددية الأستاذ محمد الرقبة
تمهيد
: -I
ثمن الشراء ، وبعد مرور سنة
¾ اشترى عصام سيارة ب 40.000 درهم وبعد مرور سنة أصبح ثمنها هو
من ثمنها ¾ من ثمنها السنة الأولى وهكذا يكون ثمن السيارة في سنة معينة هو ¾ أخرى أصبح ثمنها هو
في السنة السابقة.
-1 حدد ثمن السيارة بعد مرور ثلاث سنوات.
-2 حدد ثمن السيارة بعد مرور أربع سنوات.
.
n سنة بدلالة n -3 حدد ثمن السيارة بعد مرور
-4
في أية سنة يصبح ثمن السيارة أقل من 15.000 درهم ؟
الجواب
:
-1
1 0
3 3 40.000
4 4
P
= P = ⋅
= 30.000
2 1
3 3 30.000
4 4
P
= P = ⋅
90.000 22.500
4
= =
3 2
3 3 22.500
4 4
P
= P = ⋅
= 16.875
-2
4 3
3 3 16.875
4 4
P
= P = ⋅
= 12.656, 25
-3
1 0
2 1
3 2
4 3
1
3
4
3
4
3
4
3
4
3
n
4 n
P P
P P
P P
X
P P
P P
−
⎧ = ⎪⎪⎪
= ⎪⎪⎪
= ⎪⎨⎪
= ⎪⎪⎪⎪⎪
=
⎪⎩
��
P a g e
| 2
إذن
:
1 2 3 4 0 1 2 3 4 1
... 3 ...
4
n
n n
P P P P P P P P P P P
−
⋅ ⋅ ⋅ = ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
إذن
:
0
3
4
n
n
P
= ⎜⎛ ⎟⎞ ⋅ P
⎝ ⎠
المتراجحة
:
�� -4 لنحل في
15.000
n P ≤
0
15.000 3 15.000
4
n
n
P
≤ ⇔ P ⎛⎜ ⎞⎟ ≤
⎝ ⎠
3 15.000
4 40.000
n
⇔ ⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠3 3
4 8
n
⇔ ⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠. 4 ثمن السيارة يصبح أقل من 15.000 ≤ n من أجل
خلاصة
:
تكون متتالية عددية
.
Pn . . . P2 ، P1 ، P الأعداد 0
تعاريف ومصطلحات
: - II
-1
تعريف :
.
(I ∈��) �� جزءا من I ليكن
:
�� نحو I آل تطبيق من
( )
:
u I
n un
→
→
��
يسمى
متتالية عددية .
.
u (n) عوض un نكتب
(
un )n∈I : ونرمز لهاته المتتالية ب
I
= ��* أو I = �� عادة تكون
(
un )n∈I يسمى الحد العام للمتتالية un العدد
( ) ( ) ( )
0 n n n n n u u u ∈ ≥= = ��
( ) ( ) ( )
* 1 0 n n n n n n u u u ∈ ≥= = �� ��
n
. n هو الحد ذا المدل u
أمثلة
:
حدد الحدود الأولى للمتتالية المعرفة بما يلي
:
P a g e
| 3
2 1
nI = �� u = n −
0
u = −1
1
u = 1
2
u = 3
-2
تساوي متتاليتين :
نعتبر المتتاليتين
:
( )
; ( ) n n J n n I v u ∈ ∈
( ) ( )
n n I n n J
;
n n
I J
u v
∈ ∈
n I u v
⎧ =
= ⇔ ⎨∀∈ = ⎩
مثال :
cos
nv n π = ( ) 1n
n u = −
∀n∈�� ; (−1)n = cos n π : لدينا
(
un ) = (vn ) : إذن
تحديد متتالية
: -III
-1
المتتالية المعرفة بصيغة صريحة لحدها العام :
متتالية عددية
.
(un )n∈I دالة عددية f لتكن
∀
n∈�� ; un = f (n) : إذا آان
هي متتالية معرفة بصيغة صريحة لحدها العام . (un )n∈I المتتالية
-2
المتتالية الترجعية :
المتتالية الترجعية هي آل متتالية يكون آل حد من حدودها معرفا بواسطة الحد
( أو الحدود ) السابقة.
مثال
:
0
u = 2
1
; 1
n
1
n
n u
u
+ ∀ ∈ =
+
��
.
u أحسب 3
1
0
1 1
1 3
u
u
= =
+
2
1
1 3
1 4
u
u
= =
+
3
2
1 4
1 7
u
u
= =
+
P a g e
| 4
S u i t e b o r n é e
المتتالية المحدودة -IV
Suite majorée -1
المتتالية المكبورة
حيث
:
M مكبورة ، إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي (un )n∈I نقول أن المتتالية
n
∀n∈I u ≤ M
أمثلة
:
*
; 1 �� n n u
n
∈
�� =
*
; 1 n ∀n∈�� u ≤
Suite minorée
المتتالية المصغورة
حيث
:
m مصغورة ، إذا وفقط إذا وجد (un )n∈I نقول أن المتتالية
n
∀n∈I m ≤ u
أمثلة
:
*
; 1 �� n n u
n
∈
�� =
*
; 0 n ∀n∈�� ≤ u
-2
المتتالية المحدودة :
محدودة
، إذا وفقط إذا آانت مكبورة ومصغورة.
(un )n∈I نقول أن المتتالية
مثال
:
2
2
1
n
1
u n
n
−
=
+
∀
n∈�� ; n2 −1 ≤ n2 + لدينا : 1
إذن
:
2
2
; 1 1
1
n