على كل حال مثل هذا النوع من الأسئلة الجبرية التي مجال دراستها محدود كمجموعة الأعداد الطبيعية أو الصحيحة يستحسن حلها ويسهل برهانها منطقيا بفرض القضية المضادة للمطلوب والتوصل إلى حل مستحيل (تناقض) أو بكلمة أخرى نستعمل البرهان بعكس النقيض.
السؤال 1 :
نفرض أنه إذا كان a , b أوليان فيما بينهما فإن a² , b² ليس أوليان بينهما (عكس المطلوب).
a² , b² ليس أوليان فيما بينهما معناه: يوجد عدد طبيعي d أولي لا يساوي 1 حيث (d=pgcd(a²,b²
معناه d/a² و d/b²
معناه d/a.a و d/b.b
معناه d/a أو d/a و d/b أو d/b
معناه d/a و d/b
معناه (d/pgcd(a.b مع d لا يساوي 1 !!! مستحيل بما أن a,b
أوليان فيما بينهما أي pgcd(a,b) = 1
إذن d=1 يعني أن b² , a² أوليان فيما بينهما .
السؤال 2 :
بنفس الطريقة نفرض إذا كان a و b أوليان فيما بينهما فإن ab و a+b ليس أوليان بينهما
a+b , ab ليس أوليان فيما بينهما معناه: يوجد عدد طبيعي m أولي لا يساوي 1 حيث (m=pgcd(a+b,ab
معناه m/ab و m/a+b
معناه (m/a أو m/b) و m/a+b
معناه 1* إذا كان m/a و m/a+b فإن m/b حتما
2* إذا كان m/b و m/a+b فإن m/a حتما
معناه أنه في كلتا الحالتين m/a و m/b
معناه أن (m/pgcd(a.b علما أن m لا يساوي 1 فرضا !!! مستحيل
بما أن a , b أوليان فيما بينهما أي pgcd(a,b) = 1
إذن m=1 يعني أن a+b , ab أوليان فيما بينهما .
السؤال 3 : أفضل أن تحاولي فيه علما أنه بنفس المنطق و نفس خطوات السؤالين السابقين مع الأخذ بعين الإعتبار 3 نقاط إضافية :
* إعادة كتابة العدد علي شكل مربع تام
* إستعمال خواص قابلية قسمة عددين صحيحين علي نفس العدد
* إستعمال خاصية تعميم pgcd علي الأعداد الصحيحة
بالتوفيق للجميع
رَبَّنَا آتِنَا فِي الدُّنْيَا حَسَنَةً وَفِي الآخِرَةِ حَسَنَةً وَقِنَا عَذَابَ النَّارِ