المستقيم في المستوى
معلم مستوى
(تذآير و اضافات) -I
-1 أنشطة
(
O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم
،
.
v ( و ( 2;4 u (− ومتجهتين ( 2;3 C (3;− و ( 2 B (−3;− و ( 1 A ( نعتبر النقط( 1;2
v
و u و المتجهتين C و B و A -1 أنشئ النقط
AB
-2 حدد زوج إحداثيتي آل من
AC
و
و
2 1
2
u
− v
AB
= BD حيث D -3 حدد زوج إحداثيتي
[
AB ] منتصف I -4 حدد زوج إحداثيتي
-2
شرط استقامية متجهتين
أ- محددة متجهتين
تعريف
متجهتين
v (x '; y ') و u (x ; y ) لتكن
أو det (u;v) في هذا الترتيب) نرمز له ب ) v و u يسمى محددة المتجهين xy '− x ' y العدد
'
'
x x
y y
=
xy '− x ' y نكتب
'
'
x x
y y
det
(u;v) =
w
(− و ( 5;0 v ( و ( 2;4 u (− مثال نعتبر ( 2;3
det (u;w ) و det (u;v) حدد
غير منعدمتين v (x '; y ') و u (x ; y ) ب- لتكن
u
= kv مستقيميتان تكافئ v و u *
y
= ky ' و x = kx ' تكافئ
xy
'− x ' y = kx ' y '− kx ' y ' = ومنه 0
x
' ≠ و 0 xy '− x ' y = نفترض 0
*
نضع
'
x k
x
x
= kx ' = ومنه
y
= ky ' تكافئ xy '− x ' y = و بالتالي 0
u
= kv إذن
xy
'− x ' y = منعدما فان 0 v أو u إذا آان
خاصية
det
(u;v) = مستقيميتين إذا وفقط إذا آان 0 v و u تكون
det
(u;v) ≠ غير مستقيميتين إذا وفقط إذا آان 0 v و u تكون
مثال
w
(− و ( 1; 2 v (1; 2 − و ( 1 u ( 2 + لتكن ( 1;1
w
و u ثم v و u أدرس استقامية
تمرين
(
O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم
،
نعتبر النقط
1 ;3
2
A
u
( ومتجهة ( 1;3 C ( و ( 1;4 B (−2;− و ( 2
u
و المتجهة C و B و A -5 أنشئ النقط
مستقيميتان v (x − و ( 2;5 u حيث x -6 حدد
مستقيمية C و B و A -7 بين أن النقط
Moustaouli Mohamed
المستقيم في المستوى
-II
-1 مستقيم معرف بنقطة ومتجهة
متجهة غير منعدمة
u نقطة و A لتكن
t
∈ ; AM =tu حيث M مجموعة النقط (D ) نحدد
AB
= u لنضع
B
∈(D ) لان (D ) ≠ ∅*
t
∈ ; AM =tAB * نعلم أن
M
∈(AB ) تكافئ
(
D ) = (AB )
u
و الموجه ب A يسمى المستقيم المار من (D )
تعريف
متجهة غير منعدمة
u نقطة و A لتكن
t
∈ ; AM =tu حيث M مجموعة النقط
المستقيم المار من هي A و الموجه ب u نرمز له ب ( ) ; D A u
ملاحظة
غير منعدمتين
v و u لتكن
D
(A;u) = D (A;v) مستقيميتين فان v و u * إذا آان
D
(A;u) = D (B;u) فان B ∈D (A;u) * إذا آان
AB
*
(
AB ) موجهة للمستقيم
-2
تمثيل بارامتري لمستقيم
(
O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم
مستقيم
(D ) ، نعتبر
موجهة له u (α ;β ) وA (x 0 ; y مار من النقطة ( 0
AM
= tu حيث من t تكافئ توجد M ∈(D )
تكافئ
0
0
x x t
t
y y t
α
β
= +
= + ∈
النظمة
0
0
x x t
t
y y t
α
β
= +
= + ∈
تسمى تمتيل بارامتري
u
(α ;β ) والموجه ب A (x 0 ; y المار من ( 0 (D ) للمستقيم
مبرهنة وتعريف
(
O;i ; j ) المستوى منسوب الى معلم
نقطة
. A (x 0 ; y متجهة غير منعدمة و ( 0 u (α ;β ) و
له نظمة على شكل 0 u (α ;β ) وموجه ب A (x 0 ; y مار من ( 0 (D ) آل مستقيم
0
x x t
t
y y t
α
β
= +
= + ∈
النظمة
0
0
x x t
t
y y t
α
β
= +
= + ∈
والموجه A (x 0 ; y المار من ( 0 (D ) تسمى تمتيل بارامتري للمستقيم
u
(α ;β ) بhttps://
arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed
تمرين
(
O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم
،
.
v(4;− و ( 6 u (− ومتجهتين ( 2;3 C ( و ( 1;4 B (0;− و ( 2 A (− نعتبر النقط( 2;1
لتكن
2
1
x t
t
y t
= −
= + ∈
(Δ) تمثيلا بارامتريا لمستقيم
(
Δ) و المستقيم u و الموجه ب A المار من (D ) -1 أنشئ المستقيم
(
D ) -2 أ- حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم
(
D ) ب- أعط ثلاث نقط تنتمي إلى المستقيم
(
D ) تنتميان الى المستقيم C و B ج- هل النقطتين
مستقيميتان v و u -3 أ- بين أن
حدد تمثيلا بارامتريا ل - ب ( ) ; D C v
.
ماذا تلاحظ
(
AC ) -4 حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم
ملاحظة
آل مستقيم يقبل ما لا نهاية من التمثيلات البارامترية
-3
معادلة ديكارتية لمستقيم
أ- مستقيم معرف بنقطة و متجهة
(
O;i ; j ) منسوب إلى معلم (P ) في مستوى
،
موجهة له
. u (α ;β ) وA (x 0 ; y مستقيم مار من النقطة ( 0 (D ) نعتبر
(
P ) نقطة من M (x ; y ) لتكن
AM
تكافئ M ∈(D )
مستقيميتان
u و
تكافئ 0
0
0
x x
y y
α
β
−
=
−
β
x −α y +α y 0 − β x 0 = تكافئ 0
c
=α y 0 − β x 0 ; β = a ; −α = b نضع
(
a;b ) ≠ ( حيث ( 0;0 ax +by +c = تكافئ 0 M ∈(D )
مبرهنة
في مستوى منسوب إلى معلم
.
(a;b ) ≠ ( حيث ( 0;0 ax + by + c = له معادلة على شكل 0 (D ) آل مستقيم
*
العكس
(
a;b ) ≠ ( اعداد حقيقية حيث ( 0;0 c و b و a لتكن
ax
+by +c = حيث 0 M (x ; y ) مجموعة النقط (D ) لنحدد
a
≠ لنفرض أن 0
C c
;0 (D ) غير فارغة لأن (D )
a
− ∈
ax0 +by0 +c = ومنه 0 (D ) تنتمي الى A (x 0 ; y لتكن ( 0
c
= −ax 0 −by وبالتالي 0
ax
+ by + c = تكافئ 0 M (x ; y )∈(D )
ax
+ by − ax 0 −by 0 = تكافئ 0
a
(x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) = تكافئ 0
تكافئ
0
0
0
x x b
y y a
− −
=
−
Moustaouli Mohamed
AM
تكافئ
مستقيميتان
u (−b;a) و
M
∈D (A;u) تكافئ
مبرهنة
ax
+by +c = حيث 0 M (x ; y ) في مستوى منسوب إلى معلم مجموعة النقط
u
(−b;a) الموجه ب (D ) هي المستقيم (a;b ) ≠ ( و ( 0;0
u
(−b;a) الموجه ب (D ) تسمى معادلة ديكارتية للمستقيم (a;b ) ≠ ( حيث ( 0;0 ax + by + c = المعادلة 0
تمرين
(
O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم
.
u ( و ( 1;2 A (− ، نعتبر النقطة ( 2;1
و
(D ) 2 معادلة ديكارتية لمستقيم x − 3y +1 = لتكن 0
1 5
2 2
x t
t
y t
= +
= − ∈
تمثيل بارامتري لمستقيم
(
D ')
u
و موجه ب A مار من (Δ) -1 حدد معادلة ديكارتية لمستقيم
و متجهة موجهة له. (D ) -2 أعط ثلاث نقط من المستقيم
أنشئ الشكل. . (D ') -3 حدد معادلة ديكارتية للمستقيم
ملاحظة
متكافئين، فهما معادلتان
akx +bky + kc = و 0 ax +by +c = المعادلتان 0 ، k * لكل عدد حقيقي غير منعدم
لنفس المستقيم
*
للمستقيم مالا نهاية من المعادلات المتكافئة.
ب
- المستقيم المعرف بنقطتين
خاصية
(
O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم
فان إحدى
B (x B ; y B ) و A (x A ; y A ) إذا آان A ≠ B نعتبر
(
x − x A )( y B − y A ) − ( y − y A )(x B − x A ) = هي 0 (AB ) معادلات ديكارتية ل
مثال
(
AB ) حدد معادلة B (−1;− و ( 2 A (−2;3)
ج
- حالات خاصة
*
المستقيم القاطع لمحوري المعلم
إذا و فقط إذا آان للمستقيم
B (0;b ) و A (a; محوري معلم في نقطتين مختلفتين( 0 (D ) يقطع مستقيم
x y
معادلة ديكارتية على شكل 1 (D )
a b
b
≠ و 0 a ≠ = + حيث 0
*
المستقيم الموازي لمحور الأراتيب
خاصية
x
= c يكون مستقيم مواز لمحور الأراتيب اذا و فقط آان له معادلة من نوع
(
a;b ) ≠ ( ملاحظة ليكن ( 0;0
b
= معادلة مستقيم مواز لمحور الأراتيب إذا و فقط إذا آان 0 ax +by +c = تكون 0
Moustaouli Mohamed
*
المستقيم الموازي لمحور الأفاصيل
خاصية
.
y = c يكون مستقيم مواز لمحور الأراتيب اذا و فقط آان له معادلة من نوع
*
المستقيم غير الموازي لمحور الأراتيب
(
O;i ; j ) مستوى منسوب إلى معلم (P )
(
D ) : ax + by + c = 0
b
≠ غير مواز لمحور الأراتيب تكافئ 0 (D )
y b x c
تصبح (D ) إذن معادلة
a a
−
= −
p c
; m a نضع
b b
− −
y
= mx + p تكتب (D ) = = إذن معادلة
(
D ) معادلة y = mx + p بالعكس نعتبر
det
(u ; j ) ≠ و لدينا 0 (D ) موجهة ل u (1;m ) ومنه
لا يوازي محور الأراتيب
. (D ) إذن
خاصية
مستوى منسوب إلى معلم
(P )
y
= mx + p على شكل (D ) غير مواز لمحور الأراتيب إذا وفقط إذا آانت معادلة (D ) يكون المستقيم
(
D ) يسمى المعامل الموجه للمستقيم m العدد
(
D ) موجهة للمستقيم u (1;m ) المتجهة
(
D) تسمى المعادلة المختزلة للمستقيم y = mx + p المعادلة
ملاحظ
ة
u
(α ;β ) اذا آان
β
موجهة لمستقيم غير مواز لمحور الأراتيب فان المعامل الموجه له هو العدد
α
تمرين
(
O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم
،
( )
و 1 3 A (− نعتبر النقطة ( 2;1
:
2
x t
t
y t
= +
Δ = −+ ∈
.
و معامله الموجه
1 A المار من (D ) -1 حدد المعادلة المختزلة للمستقيم
2
.
−
ثم معادلته المختزلة
. (Δ) -2 حدد المعامل الموجه للمستقيم
الأوضاع النسبية لمستقيم
- III
-1 التوازي
( ) ( )
1 2 D :ax +by +c = 0 ; D :a'x +b ' y +c ' = 0
(
D موجهة ل ( 2 u '(−b ';a ') و (D موجهة ل ( 1 u (−b;a)
( ) ( ) 1 2 det (u;u ') = تكافئ 0 D // D
ab '− a 'b = تكافئ 0
مبرهنة
1
(
O;i ; j ) مستوى منسوب إلى معلم (P ) ليكن
.
(a ';b ') ≠ ( و ( 0;0 (a;b ) ≠ ( و ( 0;0
(
D1 ) :ax +by +c = 0 ; (D2 ) :a'x +b ' y +c ' = نعتبر 0
( ) ( )
1 2 ab '− a 'b = اذا و فقط اذا آان 0 D // D
Moustaouli Mohamed
مبرهنة
2
(
O;i ; j ) مستوى منسوب إلى معلم (P ) ليكن
(
D1 ) : y = mx + p ; (D2 ) :y = m'x + p ' و
( ) ( )
1 2 m = m ' اذا و فقط اذا آان D // D
مثال
( ) ( )
1 2 D : 2x −3y + 4 = 0 ; D : −4x +6y +1= 0
منفصلا أم منطبقان
(D و ( 2 (D هل( 1
-2
التقاطع
مبرهنة 1
(
O;i ; j ) مستوى منسوب إلى معلم (P ) ليكن
.
(a ';b ') ≠ ( و ( 0;0 (a;b ) ≠ ( و ( 0;0
(
D1 ) :ax +by +c = 0 ; (D2 ) :a'x +b ' y +c ' = نعتبر 0
( )
1 ab '− a 'b ≠ متقاطعان اذا و فقط اذا آان 0 (D و ( 2 D
و زوج إحداثيتي تقاطعهما هو حل النظمة
0
' ' ' 0
ax by c
a x b y c
+ + =
+ + =
مبرهنة
2
(
O;i ; j ) مستوى منسوب إلى معلم (P ) ليكن
(
D1 ) : y = mx + p ; (D2 ) :y = m'x + p ' و
( )
1 m ≠ m ' متقاطعان اذا و فقط اذا آان (D و ( 2 D
و زوج إحداثيتي تقاطعهما هو حل النظمة
' '
y mx p
y m x p
= +
= +
مثال
( ) ( )
1 2 D : x +3y −5 = 0 ; D : 2x + y −1= 0
متقاطعان وحدد تقاطعهما
(D و ( 2 (D تأآد أن ( 1
تمرين
و
1 ; 3 [BC ] منتصف I نقط حيث K و J و I مثلثا و ABC ليكن
4 2
CK
= − AC AJ = AB
.
(
A;AB ;AC ) ننسب المستوى إلى معلم
K
و J و I -1 حدد إحداثيات النقط
مستقيمية K و J و I -2 بين أن النقط
ثم حدد معادلة ديكارتية له. (IJ ) -3 حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم
تمرين
(
O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم
u
( و ( 5;2 B ( و ( 2;4 A (− ، نعتبر النقطتين ( 2;1
(
Dm ) : (m −1)x −2my +3 = و 0 (D ) : 2x − 3y +1 = و 0
u
و الموجه بالمتجهة A المار من (Δ) -1 حدد معادلة ديكارتية للمستقيم
متقاطعان و حدد تقاطعهما. (Δ) و (D ) -2 تأآد أن
(
D ) // (Dm ) حيث m -3 أ- حدد
B
∈(Dm ) حيث m ب- حدد
(
D2 ) ; (D1 ) ; (D -4 أ- أنشئ المستقيمات ( 0
ب
– بين أن جميع المستقيمات تمر من النقطة 3; 3
2
C
تمرين
C
(0;2) ; B (6.7) ; A ( نعتبر ( 10;3
ABC
حدد معادلة ديكارتية لكل متوسط للمثلث
.
ABC مرآز ثقل G حدد زوج إحداثيتي
http:/