[يونس]

السلام عليكم
تفظلي

المعادلة من الدرجة الثالثة

مثال

حل المعادلة التالية في R

x^3 -3x -6 = 0

لا شك ان حل المعادلة صعب لكن مع هده الطريقة يمكن حلها بسهولة..

طريقة كاردان

طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.
هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطات بدلالة p و q حلول المعادلة: . و هي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من الدرجة 3 يمكن حلها جبريا.
صيغ كاردان

بالنسبة للمعادلة: نحسب , ثم ندرس إشارته.
***916; موجب

نضع

• 
• 

الحل الوحيد الحقيقي هو .
و حلان عقديان مترافقان:

• 
• 

حيث
***916; سالب

يوجد عدد عقدي u الذي هو جذر مكعب ل .
المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:

• 
• 
• 

تفسير الطريقة

الصيغة المختصرة

نعتبر الصيغة العامة للمعادلة: ,
نضع:

لنحصل على الصيغة:

نضع الآن:
الآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد, لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
شرط التبسيط يكون إذن:
الذي يعطي من جهة:
و من جهة أخرى:
و عند رفع العددين إلى القوة 3, نحصل على:
و نحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين u 3 و v 3 الآتية :


u 3 et v 3 هما إذن عددين نعرف جمعهما و جذاءهما. هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة الثانية:




-----------------------------------
بالتوفيق
--يونس --