منتديات الجلفة لكل الجزائريين و العرب - عرض مشاركة واحدة - السلام عليكم أرجو منكم مساعدتي واجركم عند الله

مُسافر · 2012-10-06, 09:05

النهاية الاولى

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x.sin(x)}{1-cos(x)}$

لاتنسى ان :
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}=1$

الان نحل

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x.sin(x)}{1-cos(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{1-cos(x)}\times \frac{sin(x)}{x} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{1-cos(x)}\times \frac{1+cos(x)}{1+cos(x)} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{1-cos^2(x)}\times( 1+cos(x)) \\ \\ =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{sin^2(x)}\times( 1+cos(x))=1\times 2=2$

الثانية
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(2x)+sin(x)}{sin(x)-sin(2x)} \\ \\$

نعتمد على المتطابقة :
$\\ \\ sin(2x)=2cos(x)sin(x)$

اذا يصبح لدينا
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(2x)+sin(x)}{sin(x)-sin(2x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2cos(x)sin(x)+sin(x)}{sin(x)-2cos(x)sin(x)} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)(2cos(x)+1)}{sin(x)(1-2cos(x))}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2cos(x)+1}{1-2cos(x)} \\ \\ =\frac{2+1}{1-2}=-3$

النهاية الثالثة :
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)+tan(x)}{x^3}$

نتذكر هذا: $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

تصبح
$\\=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)+\frac{sin(x)}{cos(x)}}{x^3} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)(1+\frac{1}{cos(x)})}{x^3} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}\times \frac{1+\frac{1}{cos(x)}}{x^2} \\ \\ =1\times \infty \\ \\ =\infty$

وشكرا