منتديات الجلفة لكل الجزائريين و العرب - عرض مشاركة واحدة

أم الشهداء · 2012-09-29, 15:42

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته
تمــ تغيير 12 k بــ 12 بيتا حتى لا تختلط الــ k الخاصة بالعلاقة و الخاصة بالبرهنة
1- نبرهن أن العلاقة صحيحة من أجل أقل قيمة لــ N في هذه الحالة الصفر
لدينا الصفر مضاعف للـ 12
و لدينا $0^2(0^2-1)=0$
ومنه فإنها صحيحة من أجل n=0
2- نفرض أنها صحيحة من أجل كل n=k أي نقبل أن $k^2(k^2-1)=12\alpha$
3- نبرهن صحتها من أجل n=k+1
أي نبرهن أن $(k+1)^2((k+1)^2-1)=12\beta$
ــ نعلم أن $(a-b)(a+b)= a^2-b^2$ (( جداء شهير ))
ومنه فإن
$(k+1)^2-1=(k+1)^2-1^2=(k+1-1)(k+1+1)={\color{Red} k(k+2)}$
أي أن : $(k+1)^2((k+1)^2-1)=(k+1)^2{\color{Emerald} {\color{Red} k(k+2)}}= k(k+1)(k+1)(k+2)$
(( تمــ تحرير التربيع ))

ولدينا : $k^2(k^2-1)=12\alpha$ ــــ*ـــــ

حيث : $k^2-1=k^2-1^2=(k-1)(k+1)$
ومنه نعوض قيمة k مربع ناقص واحد في العبارة ــــ*ـــــ
لتصبح من ا لشكل
$k^2(k^2-1)=k^2(k-1)(k+1)=k(k+1)k(k-1)=12\alpha$
من هذه الأخيرة نستخرج قيمة k(k+1)l
فنجد :
$k(k+1)=\frac{12\alpha }{k(k-1)}$
نعوض هذه القيمة الأخيرة في العبارة التالية : $(k+1)^2((k+1)^2-1)={\color{Green} k(k+1)}(k+1)(k+2)$
فتصبح
$(k+1)^2((k+1)^2-1)=\frac{12\alpha }{k(k-1)}(k+1)(k+2)={\color{DarkRed} 12\alpha \frac{(k+1)(k+2)}{k(k-1)}}$
نضع
$\frac{(k+1)(k+2)}{k(k-1)}=M$
تصبح العبارة الأخيرة تساوي $=12\alpha M$
$M.\alpha =\beta$
ومنه العبارة تساوي 12 بيتا
ومنه فإنه من أجل كل عدد طبيعي فإن $n^2(n^2-1)=12\beta$
ـــــ
لست أدري ان كانت الخطوات واضحة
و لست متأكدة تماما من الاجابة
على العموم آمل أن تجدي من يوضح لك الفكرة أكثر و تأكيد الاجابة

بالتوفيق
و السلامــ’ــــ