منتديات الجلفة لكل الجزائريين و العرب - عرض مشاركة واحدة

هـارون · 2012-08-12, 01:35

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mohamedi mohamed

بسم الله الرحمن الرحيم
الرياضيات ليست على أرضية مهزوزة
تأكد من ذلك

المشكلة الأولى :

الخطأ في اهمال الحد الأخير (سيكون مسبوقا باشارة السالب و لا يوجد معكوسه)

$\sum_{m=0}^n\frac{1}{a_m}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_0}-\frac{1}{{a_{n+1}}}\\ \\ {\color{red}in\ this\ case\ :}\ \ \ a_m=2m-1\\ \\ \\ {\color{blue}so\ \ :}\ \ \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{2m-1}-\frac{1}{2m+1}=1-\frac{1}{2n+1}=\boxed{\color{blue}\frac{2n}{2n+1}}$

أما الثاني :

أظن الفكرة معقدة لكن يمكن تبسيطها :

$\begin{cases}\cos(x+2k\pi)=\cos(x) \\ \\ \sin(x+2k\pi)=\sin(x) \end{cases}\Rightarrow e^{(x+2k\pi)i}=e^{ix}\\ \\ \\ {\color{red}we\ must\ prove\ that\ :}\: \ln(e^{i(x+2k\pi)})=\ln(e^{ix})$

و يمكن تعقيدها طبعا :

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i(x+2k\pi))^n}{n!}$

و يبدو الطرف الأيمن أكبر لكن المفارقة أنها متساويان

أظن أن الحل في التعريف :

$f(x)=e^{ix}\Rightarrow f(x+2k\pi)=e^{2k\pi}\times e^x=e^x\\ \\ f(x)=f(x+2k\pi)\Rightarrow f^{-1}(f(x))=f^{-1}(f(x+2k\pi))\Rightarrow \ln{e^{ix}}=\ln{e^{i(x+2k\pi)}}$