الألمعي
2017-04-14, 19:16
الطوبولوجيا
من أشهر المقولات من باب الدعابة في الطوبولوجيا هي :
" A topologist is a person who can not tell a coffee cup from a doughnut "
و تقول هذه العبارة أن :
" متخصص الطوبولوجيا لا يستطيع التميز بين كوب القهوة ( الذي له يد واحدة ) مع قطعة كعكة الدونات ( الدائرية) ".
https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQje1qXc72Gjt2r1kcT86loLr_v64vER kBiijoc3lKr2XH_uXn5
والسبب أنه كلاهما له فتحة واحدة و يمكن تشكيل أحدهما إلى الأخر و بالعكس دون وجود أي عملية فصل ،و هي أحد تطبيقات علم الطوبولوجيا الجبرية .
الطوبولوجيا هي أحد فروع علم الرياضيات الحديثة و الذي يهتم في دراسة تراكيب و مكونات و خصائص جميع الفضاءات المختلفة ، بحيث تبقى هذه الخصائص متشابهة تحت عمليات التشكيل المتصلة دون أن يقوم بعملية تمزيق أو يترك فتحات في الانتقال من أحدهما إلى الآخر و بالعكس أيضاً .
الطوبولوجيا TOPOLOGY هي كلمة يونانية من شقين TOPOS-LOGOS اي علم المكان، وهو علم يدرس الأشكال الهندسية بطريقة مختلفة عن علم الهندسة .
فالطوبولوجيا تتجاهل الأحجام والمساحات والزوايا والتي تمثل القضايا الأساسية في دراسة الهندسة .
في الهندسة ندرس المستطيل والمربع وغيره من الأشكال ، واضعين قوانينا للمساحة والحجم وقياسات الزوايا.
أما في الطوبولوجيا فنحن نتجاهل كل هذه الأمور، حيث لا تهمنا المساحات وقياسات الزوايا ، فالمربع والمستطيل هما نفس الشيء طوبولوجيًا ، كذلك متوازي الأضلاع وشبه المنحرف ، كل الأشكال الرباعية هي ذاتها طوبولوجيًا . وإذا نظرنا أبعد من ذلك ، بتجاهلنا للزوايا يصبح المثلث كالمربع والخماسي والسداسي ، كل هذه الاشكال تمثل شكلا واحدا في الطوبولوجيا.
لنتخيل كل شكل من الأشكال مع نملة صغيرة ، ونراقب سير النملة عل هذا الشكل ، سنلاحظ ان النملة تسير على مربع بشكل مستمر ومتصل ، ولن تتجاوز خلال سيرها عليه أية حافة ، لذلك سيكون المربع كالمستطيل كأي شكل ممتد دون حفر ووجوه اخرى ، حيث تضطر النملة لكسر هذه الاستمرارية في سيرها.
لدينا مثلاً شريط موبيوس الشهير:
https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcROb5gU34L4EukZVSji773ZvZIbIlH1b 1KJYo3mFO-jJs4xUEJQ
http://www.syr-res.com/pic_ret.php?id=8679&b=1
هندسيا شريط موبيوس يستحيل أن يطابق المربع ، ولكن طوبولوجيا هما ذات الشكل ، كيف ذلك؟، كي تمسح النملة كل اجزاء الشريط ستمشي عليه بسلاسة دون تجاوز اي’ حافة وكأنها تمسح بسيرها مربعا بينما لو لم يتم وصل طرفي الشريط بهذه الطريقة فالنملة لن تمسح بسيرها المستمر الا وجها واحد من الشريط ، وكي تمسح وجهه الاخر ستضطر أن تتجاوز الحافة بين الوجهين ، لذلك الشريط العادي وشريط موبيوس مختلفان طوبولوجيا.
كذلك الطوبولوجيا تهتم للحُفر في المجسمات ، فمثلا لدينا كرة ، مهما ضغطناها وغيرنا من استطالتها فستبقى ذات الشكل طوبولوجيا ، فكرة البيسبول هي ذاتها كرة القدم وهي ذاتها كرة التنس طوبولوجيا ، أما لو تخيلنا أنها مفرغة على شكل انبوب فسيختلف الامر، ستصبح في عالم الطوبولوجيا كقطعة الدونات أو إطار السيارة.
http://www.syr-res.com/pic_ret.php?id=8680&b=1
أشكال كهذه تسمى المنطويات Manifolds ، حيث يطلق هذا المصطلح على كل شيء يبدو كسطح ولكنه يصبح في ابعاد اعلى شكلا اخر ، فمثلا اعتقد القدماء ان الارض مسطحة.
هنا نميز بعدين بعدا ذاتيا وبعدا خارجيا والبعد الذي غالبا ما نتحدث عنه هو البعد الذاتي وهذا يعني ان المنحني هو منطوي احادي البعد ، والسطح هو منطوي ثنائي البعد . ولكن هل يمكن تصنيف المنطويات طبقا للأبعاد وتقديم طريقة للتحقق منها ومعرفة إلى اي صنف يمكن وضعها ؟ إن هذه المسالة باختصار غير محلولة حتى الآن . يمكن القول إنها مفهومة في الأبعاد الصفرية والواحدية والثنائية ، وأيضا بشكل جيد في خمسة أبعاد وأعلى . ولكنها تبدو غامضة جدا في ثلاثة وأربعة ابعاد .
إذا كان يبدو هذا غريبا ، فلنتذكر الأبعاد الذاتية الصفرية والواحدية والثنائية تقابل في البعد الخارجي الأبعاد الثلاثية التي يمكن تخيلها والتي نعيش أصلا فيها بسهولة . ولكن تصور العيش في البعد الرابع الإقليدي على الأقل . نحتاج هنا الى اثبات رياضي أكثر من رسم صورة والتحديق إليها .
وعندما نصبح في البعد الخامس نصبح فجأة قادرين على استيعاب هذه الابعاد الى خدعة ويتني Whitney Trick التي تسمح بنقل الابعاد المعقدة وفصلها الى اجزاء مفهومة في البعد الخامس فما فوق .هذا يعني أننا تركنا البعد الثالث و الرابع .
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/b/b9/Whitneytrickstep1.svg/350px-Whitneytrickstep1.svg.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Whitneytrickstep2.svg/450px-Whitneytrickstep2.svg.png
عمليا هذه الفجوة في عدم استيعاب اجزاء من الموضوع لا يساعد على جعله أكثرتطبيقا ، ولكنه يسمح للنظريات والدراسات التي يعمل عليها الفيزيائيون لسنوات عديدة بالتقدم . ففي عام 1980 درس العالم سيمون دونالدسون جسيمات تسمى" Instantons" التي لها علاقة بنظرية الجسيمات دون الذرية والقوى بينها بمنطويات رباعية الابعاد ، حيث أننا نعيش في منطوي رباعي البعد إذا أخذنا عامل الزمن . وقد أحدثت هذه الدراسة ثورة في مفهومنا للمنطويات رباعية الأبعاد.
في هذه المرحلة ما أهمية هذا في عالمنا ؟ إن أهم دور يلعبه اي بحث هو الفهم النقي للمسألة ، كجزء من الرياضيات النظرية ينبغي أن نسعى لفهم كل شيء غامض ، وكلما زاد مفهومنا للموضوع اكثر سنكون قادرين على التعامل مع التحديات التي تواجهنا في المستقبل .فإذا كنا نركز فقط على المشاكل التي لها تطبيقات مباشرة ، فنحن في خطر أن نكون غير قادرين على معالجة المشاكل المستقبلية ، وقد ينتهي الامر الى حل المشاكل بطريقة خاطئة . وقد اظهر مسار التاريخ البشري أن العديد من القفزات الكبيرة في المجالات العلمية تأتي من مصادر غير متوقعة ، والبحوث الأساسية غالبا ما تعطي ثمارها ربما بعد مائة سنة .
لذلك علماء الرياضيات حاليا يسعون لحل هذا " التناقض " في الطوبولوجيا واعطاء مفهوم أكثر تجريدا للمسألة ، لتعميق فهمنا لكل شيء يمكننا ان نتصوره ، وقد يكون هذا المفهوم نقطة البداية في استيعاب مفاهيم جديدة وعلوم أخرى .
منقول - بتصرف -
من أشهر المقولات من باب الدعابة في الطوبولوجيا هي :
" A topologist is a person who can not tell a coffee cup from a doughnut "
و تقول هذه العبارة أن :
" متخصص الطوبولوجيا لا يستطيع التميز بين كوب القهوة ( الذي له يد واحدة ) مع قطعة كعكة الدونات ( الدائرية) ".
https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQje1qXc72Gjt2r1kcT86loLr_v64vER kBiijoc3lKr2XH_uXn5
والسبب أنه كلاهما له فتحة واحدة و يمكن تشكيل أحدهما إلى الأخر و بالعكس دون وجود أي عملية فصل ،و هي أحد تطبيقات علم الطوبولوجيا الجبرية .
الطوبولوجيا هي أحد فروع علم الرياضيات الحديثة و الذي يهتم في دراسة تراكيب و مكونات و خصائص جميع الفضاءات المختلفة ، بحيث تبقى هذه الخصائص متشابهة تحت عمليات التشكيل المتصلة دون أن يقوم بعملية تمزيق أو يترك فتحات في الانتقال من أحدهما إلى الآخر و بالعكس أيضاً .
الطوبولوجيا TOPOLOGY هي كلمة يونانية من شقين TOPOS-LOGOS اي علم المكان، وهو علم يدرس الأشكال الهندسية بطريقة مختلفة عن علم الهندسة .
فالطوبولوجيا تتجاهل الأحجام والمساحات والزوايا والتي تمثل القضايا الأساسية في دراسة الهندسة .
في الهندسة ندرس المستطيل والمربع وغيره من الأشكال ، واضعين قوانينا للمساحة والحجم وقياسات الزوايا.
أما في الطوبولوجيا فنحن نتجاهل كل هذه الأمور، حيث لا تهمنا المساحات وقياسات الزوايا ، فالمربع والمستطيل هما نفس الشيء طوبولوجيًا ، كذلك متوازي الأضلاع وشبه المنحرف ، كل الأشكال الرباعية هي ذاتها طوبولوجيًا . وإذا نظرنا أبعد من ذلك ، بتجاهلنا للزوايا يصبح المثلث كالمربع والخماسي والسداسي ، كل هذه الاشكال تمثل شكلا واحدا في الطوبولوجيا.
لنتخيل كل شكل من الأشكال مع نملة صغيرة ، ونراقب سير النملة عل هذا الشكل ، سنلاحظ ان النملة تسير على مربع بشكل مستمر ومتصل ، ولن تتجاوز خلال سيرها عليه أية حافة ، لذلك سيكون المربع كالمستطيل كأي شكل ممتد دون حفر ووجوه اخرى ، حيث تضطر النملة لكسر هذه الاستمرارية في سيرها.
لدينا مثلاً شريط موبيوس الشهير:
https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcROb5gU34L4EukZVSji773ZvZIbIlH1b 1KJYo3mFO-jJs4xUEJQ
http://www.syr-res.com/pic_ret.php?id=8679&b=1
هندسيا شريط موبيوس يستحيل أن يطابق المربع ، ولكن طوبولوجيا هما ذات الشكل ، كيف ذلك؟، كي تمسح النملة كل اجزاء الشريط ستمشي عليه بسلاسة دون تجاوز اي’ حافة وكأنها تمسح بسيرها مربعا بينما لو لم يتم وصل طرفي الشريط بهذه الطريقة فالنملة لن تمسح بسيرها المستمر الا وجها واحد من الشريط ، وكي تمسح وجهه الاخر ستضطر أن تتجاوز الحافة بين الوجهين ، لذلك الشريط العادي وشريط موبيوس مختلفان طوبولوجيا.
كذلك الطوبولوجيا تهتم للحُفر في المجسمات ، فمثلا لدينا كرة ، مهما ضغطناها وغيرنا من استطالتها فستبقى ذات الشكل طوبولوجيا ، فكرة البيسبول هي ذاتها كرة القدم وهي ذاتها كرة التنس طوبولوجيا ، أما لو تخيلنا أنها مفرغة على شكل انبوب فسيختلف الامر، ستصبح في عالم الطوبولوجيا كقطعة الدونات أو إطار السيارة.
http://www.syr-res.com/pic_ret.php?id=8680&b=1
أشكال كهذه تسمى المنطويات Manifolds ، حيث يطلق هذا المصطلح على كل شيء يبدو كسطح ولكنه يصبح في ابعاد اعلى شكلا اخر ، فمثلا اعتقد القدماء ان الارض مسطحة.
هنا نميز بعدين بعدا ذاتيا وبعدا خارجيا والبعد الذي غالبا ما نتحدث عنه هو البعد الذاتي وهذا يعني ان المنحني هو منطوي احادي البعد ، والسطح هو منطوي ثنائي البعد . ولكن هل يمكن تصنيف المنطويات طبقا للأبعاد وتقديم طريقة للتحقق منها ومعرفة إلى اي صنف يمكن وضعها ؟ إن هذه المسالة باختصار غير محلولة حتى الآن . يمكن القول إنها مفهومة في الأبعاد الصفرية والواحدية والثنائية ، وأيضا بشكل جيد في خمسة أبعاد وأعلى . ولكنها تبدو غامضة جدا في ثلاثة وأربعة ابعاد .
إذا كان يبدو هذا غريبا ، فلنتذكر الأبعاد الذاتية الصفرية والواحدية والثنائية تقابل في البعد الخارجي الأبعاد الثلاثية التي يمكن تخيلها والتي نعيش أصلا فيها بسهولة . ولكن تصور العيش في البعد الرابع الإقليدي على الأقل . نحتاج هنا الى اثبات رياضي أكثر من رسم صورة والتحديق إليها .
وعندما نصبح في البعد الخامس نصبح فجأة قادرين على استيعاب هذه الابعاد الى خدعة ويتني Whitney Trick التي تسمح بنقل الابعاد المعقدة وفصلها الى اجزاء مفهومة في البعد الخامس فما فوق .هذا يعني أننا تركنا البعد الثالث و الرابع .
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/b/b9/Whitneytrickstep1.svg/350px-Whitneytrickstep1.svg.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Whitneytrickstep2.svg/450px-Whitneytrickstep2.svg.png
عمليا هذه الفجوة في عدم استيعاب اجزاء من الموضوع لا يساعد على جعله أكثرتطبيقا ، ولكنه يسمح للنظريات والدراسات التي يعمل عليها الفيزيائيون لسنوات عديدة بالتقدم . ففي عام 1980 درس العالم سيمون دونالدسون جسيمات تسمى" Instantons" التي لها علاقة بنظرية الجسيمات دون الذرية والقوى بينها بمنطويات رباعية الابعاد ، حيث أننا نعيش في منطوي رباعي البعد إذا أخذنا عامل الزمن . وقد أحدثت هذه الدراسة ثورة في مفهومنا للمنطويات رباعية الأبعاد.
في هذه المرحلة ما أهمية هذا في عالمنا ؟ إن أهم دور يلعبه اي بحث هو الفهم النقي للمسألة ، كجزء من الرياضيات النظرية ينبغي أن نسعى لفهم كل شيء غامض ، وكلما زاد مفهومنا للموضوع اكثر سنكون قادرين على التعامل مع التحديات التي تواجهنا في المستقبل .فإذا كنا نركز فقط على المشاكل التي لها تطبيقات مباشرة ، فنحن في خطر أن نكون غير قادرين على معالجة المشاكل المستقبلية ، وقد ينتهي الامر الى حل المشاكل بطريقة خاطئة . وقد اظهر مسار التاريخ البشري أن العديد من القفزات الكبيرة في المجالات العلمية تأتي من مصادر غير متوقعة ، والبحوث الأساسية غالبا ما تعطي ثمارها ربما بعد مائة سنة .
لذلك علماء الرياضيات حاليا يسعون لحل هذا " التناقض " في الطوبولوجيا واعطاء مفهوم أكثر تجريدا للمسألة ، لتعميق فهمنا لكل شيء يمكننا ان نتصوره ، وقد يكون هذا المفهوم نقطة البداية في استيعاب مفاهيم جديدة وعلوم أخرى .
منقول - بتصرف -