اريد جوابا عاجلا ***حل معادلة الدرجة الثالثة بطريقة كاردان *** [الأرشيف]

يونس

2013-01-28, 15:49

السلام عليكم
تفظلي
http://sl.glitter-graphics.net/pub/486/486977qiv42whpgq.gif

المعادلة من الدرجة الثالثة

مثال

حل المعادلة التالية في R

x^3 -3x -6 = 0

لا شك ان حل المعادلة صعب لكن مع هده الطريقة يمكن حلها بسهولة..

طريقة كاردان

طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.
هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطات بدلالة p و q حلول المعادلة: http://upload.wikimedia.org/math/9/d/3/9d36a45019084bc3f863e20fd924ac3c.png. و هي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من الدرجة 3 يمكن حلها جبريا.
صيغ كاردان

بالنسبة للمعادلة: http://upload.wikimedia.org/math/f/c/2/fc2b58fd567997a7cee66cab84ac4ba4.png نحسب http://upload.wikimedia.org/math/4/c/7/4c70cf2a4b95a003e0ec6e1fd918f9ba.png, ثم ندرس إشارته.
***916; موجب

نضع

http://upload.wikimedia.org/math/e/7/6/e76173bddab23ed6f1463eeadfba1f63.png
http://upload.wikimedia.org/math/7/7/6/776d66c636ff663c007070db4c11789f.png

الحل الوحيد الحقيقي هو http://upload.wikimedia.org/math/1/a/c/1acdf29f701389496168858ae1231915.png.
و حلان عقديان مترافقان:

http://upload.wikimedia.org/math/d/8/0/d80ff6386df65c103bd1a68c01f1a400.png
http://upload.wikimedia.org/math/c/4/9/c497fe6a10c2c543707c1558bf208158.png

حيث http://upload.wikimedia.org/math/f/0/5/f0588004168549bd16ab0a19d58d2fcf.png
***916; سالب

يوجد عدد عقدي u الذي هو جذر مكعب ل http://upload.wikimedia.org/math/0/3/b/03bdfb424be91b20339aeb187f6554bc.png.
المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:

http://upload.wikimedia.org/math/d/6/5/d65dd179ae430b4050314cfc59ab67a6.png
http://upload.wikimedia.org/math/a/d/e/ade3257c1b2ab199be4639f21a1207c8.png
http://upload.wikimedia.org/math/6/5/7/65744a8e20b5c7d89f77eaffc875692b.png

تفسير الطريقة

الصيغة المختصرة

نعتبر الصيغة العامة للمعادلة: http://upload.wikimedia.org/math/e/2/5/e2541975a91ef33d6b4af08dd31d8c6e.png,
نضع:
http://upload.wikimedia.org/math/6/e/2/6e23fe4ceb48e1fc3eac54d35e706509.png
لنحصل على الصيغة:
http://upload.wikimedia.org/math/0/6/c/06c42cda45c92857a1935c8ccbdee8c5.png
نضع الآن:
http://upload.wikimedia.org/math/8/b/3/8b3c61048ba6671b72bb934117868d05.png الآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد, لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
http://upload.wikimedia.org/math/4/8/5/485864024f394818dae85414a88013d8.png تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
http://upload.wikimedia.org/math/8/1/d/81db6ead67cac50dec36e4bfa52f767e.png شرط التبسيط يكون إذن:
http://upload.wikimedia.org/math/e/c/8/ec8930b016d3d442067267e37059d022.png الذي يعطي من جهة:
http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54d10bc1db3d4903c113134d441402b1.png و من جهة أخرى:
http://upload.wikimedia.org/math/f/b/1/fb1300947af438fee54b0315965e70ca.png و عند رفع العددين إلى القوة 3, نحصل على:
http://upload.wikimedia.org/math/1/f/c/1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3.png و نحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين u 3 و v 3 الآتية :
http://upload.wikimedia.org/math/7/c/c/7cc9ad2a9e35f3d6027c460992717de4.png
http://upload.wikimedia.org/math/1/f/c/1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3.png
u 3 et v 3 هما إذن عددين نعرف جمعهما و جذاءهما. هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة الثانية:
http://upload.wikimedia.org/math/c/5/c/c5c83891567aeeed9e5bb3fcafbb7470.png

-----------------------------------
بالتوفيق
--يونس --