بسرررررررررررررعة بليييز ساعدوووني

[أم عبد الناصر]

برهن بالتراجع انه من اجل كل عدد طبيعي n
http://www5.0zz0.com/2012/09/29/13/182374206.gif (http://www.0zz0.com)

[أم الشهداء]

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته
تمــ تغيير 12 k بــ 12 بيتا حتى لا تختلط الــ k الخاصة بالعلاقة و الخاصة بالبرهنة
1- نبرهن أن العلاقة صحيحة من أجل أقل قيمة لــ N في هذه الحالة الصفر
لدينا الصفر مضاعف للـ 12
و لدينا http://latex.codecogs.com/gif.latex?0%5E2%280%5E2-1%29=0
ومنه فإنها صحيحة من أجل n=0
2- نفرض أنها صحيحة من أجل كل n=k أي نقبل أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?k%5E2%28k%5E2-1%29=12%5Calpha
3- نبرهن صحتها من أجل n=k+1
أي نبرهن أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28k+1%29%5E2%28%28k+1%29%5E2-1%29=12%5Cbeta
ــ نعلم أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28a-b%29%28a+b%29=%20a%5E2-b%5E2 (( جداء شهير ))
ومنه فإن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28k+1%29%5E2-1=%28k+1%29%5E2-1%5E2=%28k+1-1%29%28k+1+1%29=%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20k%28k+2%29% 7D
أي أن :http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28k+1%29%5E2%28%28k+1%29%5E2-1%29=%28k+1%29%5E2%7B%5Ccolor%7BEmerald%7D%20%7B%5 Ccolor%7BRed%7D%20k%28k+2%29%7D%7D=%20k%28k+1%29%2 8k+1%29%28k+2%29
(( تمــ تحرير التربيع ))

ولدينا : http://latex.codecogs.com/gif.latex?k%5E2%28k%5E2-1%29=12%5Calpha ــــ*ـــــ

حيث : http://latex.codecogs.com/gif.latex?k%5E2-1=k%5E2-1%5E2=%28k-1%29%28k+1%29
ومنه نعوض قيمة k مربع ناقص واحد في العبارة ــــ*ـــــ
لتصبح من ا لشكل
http://latex.codecogs.com/gif.latex?k%5E2%28k%5E2-1%29=k%5E2%28k-1%29%28k+1%29=k%28k+1%29k%28k-1%29=12%5Calpha
من هذه الأخيرة نستخرج قيمة k(k+1)l
فنجد :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?k%28k+1%29=%5Cfrac%7B12%5Calpha%20%7D%7B k%28k-1%29%7D
نعوض هذه القيمة الأخيرة في العبارة التالية : http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28k+1%29%5E2%28%28k+1%29%5E2-1%29=%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20k%28k+1%29%7D%28k+1% 29%28k+2%29
فتصبح
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28k+1%29%5E2%28%28k+1%29%5E2-1%29=%5Cfrac%7B12%5Calpha%20%7D%7Bk%28k-1%29%7D%28k+1%29%28k+2%29=%7B%5Ccolor%7BDarkRed%7D %2012%5Calpha%20%5Cfrac%7B%28k+1%29%28k+2%29%7D%7B k%28k-1%29%7D%7D
نضع
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%28k+1%29%28k+2%29%7D%7Bk%28k-1%29%7D=M
تصبح العبارة الأخيرة تساوي http://latex.codecogs.com/gif.latex?=12%5Calpha%20M
http://latex.codecogs.com/gif.latex?M.%5Calpha%20=%5Cbeta
ومنه العبارة تساوي 12 بيتا
ومنه فإنه من أجل كل عدد طبيعي فإن http://latex.codecogs.com/gif.latex?n%5E2%28n%5E2-1%29=12%5Cbeta
ـــــ
لست أدري ان كانت الخطوات واضحة
و لست متأكدة تماما من الاجابة
على العموم آمل أن تجدي من يوضح لك الفكرة أكثر و تأكيد الاجابة

بالتوفيق
و السلامــ’ــــ

[مُسافر]

يمكننا ان نترجم السؤال الى شكل آخر

اثبت ان المقدار الايسر يقبل القسمة على 12

الان نبدأ الاثبات

من اجل n=0 عوض تجدها صحيحة

افرض صحتها من اجل n=m ثم برهن صحتها من اجل n=m+1
http://latex.codecogs.com/gif.latex?prove%20\%20that%20\%20:%20\%2012%20|%20 \%20(m+1)^2((m+1)^2-1)

نبدأ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}%20\frac{(m+1)^2((m+1)^2-1)}{12}=\frac{2%20m+5%20m^2+4%20m^3+m^4}{12}%20\\% 20\\%20=\frac{{\color{blue}%20m^2(m^2-1)}+4m^3+6m^2+2m}{12}

لاحظ المقدار باللون الازرق من الفرض هو يقبل القسمة على 12 اذا علينا اثبات ان المقدار
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}%204m^3+6m^2+2m
يقبل القسمة على 12

لدينا
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}%20\frac{4m^3+6m^2+2m}{12}=\fra c{2(2m^3+3m^2+m)}{12}=\frac{2m^3+3m^2+m}{6}

الان علينا اثبات ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}%206%20\%20|2m^3+3m^2+m

وهذا نثبته بالبرهان بالتراجع

افرض صحتها من اجل m=0 تجدها محقق

افرض صحتها من اجل m=a الان اثبت صحتها من اجل m=a+1

لدينا

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}%20\frac{2(a+1)^3+3(a+1)^2+(a+1 )}{6}=\frac{2a^3+9a^2+13a+6}{6}%20\\%20=\frac{{\co lor{blue}%20(2a^3+3a^2+a)}+6(a^2+2a+1)}{6}


المقدار باللون الازرق يقبل القسمة على 6 حسب الفرض ..المقدار الاخر من الواضح انه يقبل القسمة على 6

وشكرا

[manothebest]

سلآم اسلآم
كيف هي الأحوآل معكمـــ’’ــــ؟؟
سلامـــــ’’ـــــــــ

[مُسافر]

وهذا اثبات آخر ..باستعمال الموافقات ( تحسبا لو طلب الاثبات بطرق اخرى http://www.djelfa.info/vb/images/smilies/biggrin.gif )



http://im25.gulfup.com/lIlS1.gif



سلآم اسلآم
كيف هي الأحوآل معكمـــ’’ــــ؟؟
سلامـــــ’’ـــــــــ

اهلا اختي انا الحمد لله ..شكرا على السؤال ..

اتمنى ان تكوني بخير :19:

[manothebest]

لآ شكر على وآجب أخي عبقور ههه
أنآ بخير الحمد لله
سلآمــ’’ــــ