الباب السادس : الهندسة الفراغيالمثالي في الرياضيات ة
الباب السابع : هندسة المتجهات
الباب الثامن : الحساب التوافقي
الباب التاسع : الاحتمالات
إشراف ومراجعة وإخراج
رئيس شعبة الرياضيات بمحافظة الزلفي
خالد بن عبدا لمحسن الطريقي
اسم الطالب / .................................................. ......... الصف ۲ / ط
الباب الخامس
دوال كثيرات الحدود العمليات الأساسية على دوال كثيرات الحدود
الصورة العامة الدرجة المعامل الرئيسي الحد الثابت المعاملات
ا نن س ن +ا نن- 1 س ن _ !+.........+اس+ا 0 ن ا نن ا 0 ا نن, ا نن- 1 ,......., ا 1 , ا 0
جد-۲ س% +6 س#+س@- 5 س+3 الخامسة -۲ 3 -۲ , 6, 1 , - 5 , 3
جد 4 س -7 الأولى 4 - 7 4 , - 7
جد صفر - صفر صفر صفر
تعريف: كثيرة الحدود الصفرية هي الدالة الصفرية د 0 { س } = صفر لجميع القيم س ي ح
مفكرة المثالي ((دوال كثيرات الحدود ))
1 اكتب كثيرة الحدود د {س} التي معاملاتها هي :
ا 5= ۲ , ا 3 = - 5 , ا 2 = 1 , ا 1 = صفر ، ا 0 = - 4
.................................................. ...................................
.................................................. ...................................
2 اكتب درجة ومعاملات د {س } = 3 س @ - 7 س % + س # - ذ وأوجد كلا من المعامل الرئيسي والحد الثابت فيها .
.................................................. ...................................
.................................................. ...................................
.................................................. ...................................
3 أوجد كثيرة حدود من الدرجة الثانية ه {س} إذا كان :
ه {1} = 0 , ه {-1} = 5 , ه {0} = ۲
.................................................. ...................................
.................................................. ...................................
4 أوجد قيم المجاهيل ا , ب , ن بحيث :
ا س$ - {۲ب } س@ + 5 = 3 س ن + 4 س@ + 5
.................................................. ...................................
.................................................. ...................................
تابع المثالي للصف الثاني دوال كثيرات الحدود
الجمع
والطرح إذا كانت : د{س} , ه{س} كثيرتي حدود فإن: د {س} _ ه {س} هي كثيرة حدود ودرجتها هي درجة الدالة الكبرى. {ويلاحظ عند الجمع والطرح أن نجمع المعاملات في الحدود المتشابهة}
الضرب د{س} . ه{س} هي دالة كثيرة حدود درجتها هو حاصل جمع كلا من درجتي الدالتين.
ملحوظة : عملية ضرب كثيرات الحدود تحقق الخواص المعروفة ( التجميع – التبديل- التوزيع )
القسمة إذا كانت د{س} , ه{س} كثيرتي حدود حيث ه{س} لآ صفر عندئذ يوجد كثيرتا حدود ق {س} , ر {س}
بحيث : د {س} = ه {س}0 ق {س} + ر {س}
نسمي ق {س} خارج قسمة د{س} على ه {س} ,,,, أما ر {س} فتسمى باقي القسمة0
نظرية الباقي عند قسمة كثيرة حدود : د{س} على {س + ا} حيث اي ح فإن باقي القسمة ر {س} هو دالة ثابتة وقيمتها تساوي د {ا} وهي قيمة د{س} عند س = ا .
نظرية العوامل إن كثيرة الحدود د{س} تقبل القسمة على كثيرة الحدود {س – ا} إذا وفقط إذا كان د {ا} = صفر.
جذور كثيرات الحدود إذا كانت : د{س} كثيرة حدود غير صفرية . وكان ا عددا مركبا (قد يكون ا عددا حقيقيا) بحيث د {ا} =صفر
فإننا نقول أن: ا هو جذر لكثيرة الحدود د{س} .
تطبيقات المثالي على كثيرات الحدود
1 باقي قسمة 3 س # + 2 س @ - 1 على س – 1 يساوي :
ا~ 4 ب~ 5 ج~ -6 ء~ 6
2 إذا كانت د(س) = 3 س@ – 5 س + 6 فإن المعامل الرئيسي لها يساوي:
ا~ - 5 ب~ 6 ج~ 3 ء~ ۲
3 باستخدام نظرية الباقي فإن باقي قسمة د(س) = س# – 2 س+ 3 على ه(س) = س – 2 يساوي :
ا~ -1 ب~ 7 ج~ -4 ء~ 9
4 إذا كان : ۲ + ت هو جذر لكثيرة الحدود د(س) = س @ – 4 س + 5 فإن الجذر الآخر هو :
ا~ - ۲- ت ب~ ۲ +ت ج~ ۲- ت ء~ - ۲ + ت
5 إذا كانت د(س) = ۲س@ – 3س + 1 ، ه {س} = ۲س – 5 فإن د(س) + ه(س) يساوي :
ا~ 4س# – 3س + 6 ب~ ۲س@ + 5س – 4 ج~ ۲س@ + س – 4 ء~ ۲س@ - 5س – 5
6 قيمة ب التي تجعل د { س } = ۲س@ – ب س + 1 يقبل القسمة على ه {س} = س + 1 باستخدام نظرية العوامل
ا~ 3 ب~ -3 ج~ -1 ء~ 1
7 عدد الجذور لكثيرة الحدود جد س$ – ۲ س# + 3 س – 5 يكون :
ا~ أقل من أو يساوي 4 ب~ أكثر من أو يساوي 4 ج~ 4 على الأقل ء~ أكثر من 4
8 إذا كانت : ه (س) = 3 , د(س) = 2 س@ فإن ه (س) . د(س) من الدرجة ...................
ا~ الثانية ب~ الثالثة ج~ الرابعة ء~ السادسة
9 باقي قسمة جد س% - 5 س + 10 على ه {س} = س – ذ يساوي .................
ا~ 3۲ ب~ 30 ج~ صفر ء~ 10
10 كثيرة الحدود جد 4 س @ - 7 س % + 3 من الدرجة ...................
ا~ الثالثة ب~ الرابعة ج~ الخامسة ء~ السابعة
11 باقي قسمة جد ۲ س # + 10 على ه (س) = س – ۲ باستخدام نظرية الباقي يساوي :
ا~ صفر ب~ ۲ ج~ ۲6 ء~ -6
1۲ إذا كان العدد ۲ جذر لكثيرة الحدود د(س) = س@ - 5 س + ا فإن قيمة ا تساوي........
ا~ -6 ب~ ۲ ج~ 6 ء~ - ۲
13 إذا كان : اس@ + 5 س – 1 = 4 س@ + {ا + ب } س - 1 فإن قيمة ب هي .......
ا~ 4 ب~ - 1 ج~ 3 ء~ 1
14 عدد جذور كثيرة الحدود : جد س# – 5 س + 1 هي:
ا~ 4 ب~ 3 ج~ ۲ ء~ 1
تطبيقات المثالي على كثيرات الحدود
15 أوجد خارج قسمة : جد س # +۲ س @ - 5 س + 8 على ه {س} = س + 1
16 أوجد خارج وباقي قسمة : جد س# +3 س@ - س – 3 على ه {س} = س@ - 1
17 أوجد بأقل درجة ممكنة كثيرة الحدود التي جذورها ۲ , ت
تطبيقات المثالي على كثيرات الحدود
18 فيما يلي ناقش هل ا جذر كثيرة الحدود د {س} ؟
وإذا كان ا جذر فحدد عدد مرات تكراره :-
1~ جد س# - س@ - 5 س + ۲ , ا = - ۲
۲~ جد 3س$- ۲ س# + 4 , ا = ۲
3~ جد 4س# - 3 س + 1 , ا = !؛2
19 أوجد جذور كثيرات الحدود الآتية : -
1~ جد #؛2 س + 6
۲~ جد 3 س@ + !؛2 س – 1
3~ جد س# - ۲س@ - س + ۲
۲0 حلل كثيرات الحدود الآتية إلى عوامل من الدرجة الأولى في حقل الأعداد المركبة .
1~ جد س@ - 4س + 5
۲~ جد س# + ۲ س@ + 7 س - 10
۲1 1~ إذا كان : س= 1 , س = -۲ جذرين لكثيرة حدود د(س) حيث:
د(س) = س# + 4 س@ + س – 6 أوجد الجذر الثالث.
۲~ إذا كان : س =۲ جذر لكثيرة الحدود : د ( س ) = س# - 3س@ + 7 س – 10
أوجد الجذرين الآخرين .
3~ أوجد جذور الدالة كثيرة الحدود :
ق (س) = س# - 3س +۲
ب السادس الهندسة الفراغية
المستوي ومسلماته _ التعامد _ التوازي _ الإسقاط العمودي _ الزاوية الزوجية
تذكر أن: المسلمة الأولى: أي مستقيمين متقاطعين يعينان مستويا وحيدا.
المسلمة الثانية: إذا تقاطع مستويان مختلفان فإن تقاطعهما مستقيم.
نظريات وتعار يف : {1} نقول أن مستقيمين ل1 , ل۲ متوازيان , ونكتب ل1 ] ل۲ إذا :
ا~ وقعا في مستو واحد . ب~ لم يتقاطعا .
{۲} نسمي المستقيمان المتخالفان إذا لم يوجد مستو واحد يحوياهما معا .
{3} إذا تقاطع مستقيم مع مستو لا يحتويه فإنها يتقاطعان في نقطة واحدة.
بعض المسلمات والنظريات والنتائج الهامة
·1 طول قطر متوازي المستطيلات الذي أبعاده س ،·2 ص ،·3 ع = [ س@/ +/ص@/+/ع/@
·4 إذا وازى المستقيم ل المستوى سس فكل مستقيم في سس يوازي ل أو يخالفه .
·5 إذا كان ل 1 ] ل 2 فالمستوى العمودي على أ حدهما عمودي على الأخر.
·6 إذا وازى المستقيم ل خخ سس مستقيم ك خ سس فإن ل ] سس .
·7 إذا تقاطع مستويين فإن تقاطعهما مستقيم.
·8 إذا قطع مستو مستويين متوازيين فإنه يقطعهما في مستقيمين متوازيين.
·9 إذا عامد مستقيم ك مستقيمين متقاطعين فإنه يعامد المستوى الذي يعينانه .
·10 أي مستويين عموديين على مستقيم واحد متوازيين.
·11 أي مستقيمين عموديين على مستوى واحد متعامدين.
·12 طول مسقط قطعة مستقيمة أاب ٍ على مستوى سس
1~ إذا كان اب عع سس فإن طول المسقط = صفر
۲~ إذا كان اب ] سس فإن طول المسقط = طول القطعة
3~ إذا كان اب يميل على سس بزاوية ه فإن طول المسقط = طول القطعة × جتا ه
·1 إذا كان ل مستقيما مائلا على سس ومسقطه العمودي ل َ فأي مستقيم في سس يعامد ل فإنه يعامد لَ والعكس صحيح.
تطبيقات الباب السادس الهندسة الفراغية
1 أكمل : حالات تعيين المستوى هي:
.................................................. ... .................................................. .
.................................................. ... .................................................. .
2 أكمل : 1- إذا كان : سس ]صص ، ل مجموعة جزئية من سس فإن : ل …….. ص .
۲ - سس عع ل ، ص عع ل فإن : س ……….. ص .
3- سس ] صص ، سس ط ع = ل ، صص ط ع = ك فإن : ل ………. ك .
4 - إذا كان ل عمودي على سس ، ل ] ك فأن : ك ……….. سس .
5- إذا كان ل ط سس = ف فأن ل ………..س .
6- ل خ سس ، ك عع سس فأن ل ……… ك .
3 ضع خطا على الإجابة الخاطئة ( اشطب على الخطأ ) .
1- المستقيمان المتخالفان ……….. [ متوازيان ، لايجمعهما مستو واحد ، يتقاطعان ]
2- يكون ل مجموعة جزئية من س إذا اشترك ل مع س في….. [ نقطة واحدة ، اكثر من نقطة ]
3- إذا توازى مستويان فآي مستقيم في أحدهما …. [ يوازي الآخر ، لا يوازي الآخر ، بعامد الآخر ]
4- يتقاطع المستويان في ........................... [ نقطة ، مستقيم ، مستو ]
4 أن م ٍ قطعة مستقيمة طولها 12سم . أحسب مسقطها على سس في الحالات التالية :
ا~ م ن ] سس ب~ م ن عع سس ج~ م ن يميل على سس بزاوية 30%
5 - إذا كان المستقيم ا ب يعامد المستوى سس عند ب وكانت ج ، د نقطتين في سس بحيث ‘ ب د‘ = 9سم ، ‘ ب ج‘ = 5سم ، ‘ ا ج‘ = 13سم فأحسب ‘ ا د‘ .
تابع تطبيقات الباب السادس الهندسة الفراغية
6
في الشكل المقابل إذا كانت م لا تنتمي إلى المستقيم ب
فإننا نسمي ب ، ج د مستقيمين :
ا~ متعامدين ب~ متقاطعين وغير متعامدين ج~ متخالفين ء~ متطابقين
7 المبدأ الرياضي الذي نعرف بمقتضاه أن أي مستقيمين متقاطعين يعينان مستوِ وحيد هو :
ا~ المسلمة الأولى ب~ المسلمة الثانية ج~ المسلمة الثالثة ء~ جميع ما ذكر
8 إذا كانت [ ب ] قطعة مسـتقيمة طولها 14 سم ، ب فإن طول مسقطها على المستوى يساوي
ا~ صفر ب~ 1 ج~ ۲ ء~ 3
9 متوازي مستطيلات أبعاده 3سم , 4 سم ، 12 سم . فإن طول قطره يساوي ...................
ا~ 169 ب~ 14 ج~ 13 ْ ء~ [3خح1/
10 : من الشكل المجاور : س ص ع مثلث قائم الزاوية في ص :
ص د مائلة على المستوى س ص ع ، س د يعامد المستوى
|س د| = 6 سم ، |س ص| = 6 سم .
فإن قيــــــاس الزاوية الزوجية س ـ ص ع ـ د يســـاوي :
ا~ 30 ْ ب~ 45 ْ ج~ 60 ْ ء ~ 90 ْ
مجموعة من الاختبارات القصيرة للبابين الخامس والسادس
كثيرات الحدود والهندسة الفراغية
اختبار قصير رقم ( 1 )
السؤال الأول: اختر الإجابة الصحيحة
1} باقي قسمة جد س% - 5 س + 10 على ه ( س ) = س ؛ ۲ يساوي
ا~ 3۲ ب~ 30 <~ صفر د~ 10
۲} جميع الزوايا المستوية لزاوية زوجية ....................
ا~ متكاملة ب~ متطابقة <~ متتامة د~ متناظرة
3} قطعة مستقيمة طولها 10 سم وتوازي المستوى سس فإن طول مسقطها على المستوى سس يساوي ..............
ا~ صفر ب~ ۲ سم <~ 5 سم د~ 10 سم
4} كثيرة الحدود جد 4 س @ - 7 س % + 3 من الدرجة :
ا~ الثالثة ب~ الرابعة <~ الخامسة د~ السابعة
5} إذا قطع مستو ما مستويين متوازيين فإنه يقطعها في .............
ا~ مستقيمان متقاطعان ب~ مستقيمان متوازيان <~ مستقيم واحد د~ نقطة واحدة
السؤال الثاني: أكمل كلا مما يأتي:
1~ يسمى المستقيمان متخالفان إذا .............................................
ذ~ متوازي مستطيلات أبعاده 3سم , 4 سم ، 12 سم . فإن طول قطره يساوي ...................
3~ إذا كان : ۲- ت أحد جذور كثيرة الحدود جد س @ - 4 س + 5 فإن الجذر الأخر = .............
4~ إذا كان : { ا – ب } س # - 5 س + ۲ = - 6 س # - 5 س + { ا + ب } فإن :
ا = ......... , ب = .............
السؤال الثالث : أجب عما يلي :
1~ أوجد خارج قسمة : جد س # +۲ س @ - 5 س + 8 على ه {س} = س + 1
س/ #/ +/۲/ /س /@/ -/ 5 /س/ +/ 8 / طط س |+| 1| |
اختبار قصير رقم ( ۲ )
1 السؤال الأول: اختر الإجابة الصحيحة فيما يلي :
مكعب طول حرفة 6سم . فإن طول قطره يساوي:
ا~ 1۲ ب~ 6 [ 3خح / ج~ 8 1 د~ [ 3/
2 اب قطعة مستقيمة طولها 10سم , وطول مسقطها 5 [۲خح / سم فإن زاوية ميلها على المسقط هي :
ا~ 30% ب~ 60% ج~ 45% د~ 90%
3 يكون المستقيمان متخالفان اذا :
ا~ وقعا في مستو واحد ب~ لم يتقاطعا ج~ لم يحتويهما مستو واحد د~ تقاطعا
4 إذا كان العدد ۲ جذر لكثيرة الحدود جد س@- 5 س + ا فإن قيمة ا تساوي:
ا~ ۲ ب~ - 3 ج~ 6 د~ - ۲
5 إذا كانتجهه ه {س}= 3 .جد , وكانت د {س} من الدرجة الثانية .فإن درجة ه {س} تساوي :
ا~ ۲ ب~ 3 ج~ 5 د~ 6
6 باقي قسمة جد س#- 3 س@ + 3 س – 6 على ه {س } = س - 1 هو :
ا~ 5 ب~ 1 ج~ صفر د~ - 5
7 أي مستقيمين يعامدان مستو واحد يكونا :
ا~ متوازيان ب~ متعامدان ج~ متمتقاطعان د~ متخالفان
8 إذا كانت : ا س@ + 5س – 1 = 4 س@ + { ا + ب } س - 1 فإن قيمة ب هي:
ا~ - 1 ب~ 1 ج~ 3 د~ 4
السؤال الثاني :
1~ أوجد خارج وباقي قسمة : د {س} = س# + 3س@- س – 3 على ه {س} = س@ - 1
۲~ في الشكل المقابل :
اج ] بء , ‘ اج‘ = ‘ بء‘
أثبت أن : جء ] سس
السؤال الثالث :
1~ أوجد بأقل درجة ممكنة كثيرة الحدود التي جذورها ۲ ، ت
۲~ في الشكل المقابل:
م ب عع المستوى ا ب ج , ب ه عع ا ج
, ‘ اب ‘ = 4سم ‘ م ب‘= ۲سم
, م ه عع اج .
أوجد : قياس الزاوية الزوجية م- اج؟ - ب
انتهت الأسئلة
اختبار قصير رقم ( 3 )
السؤال الأول: اختر الإجابة الصحيحة فيما يلي :
1~ باقي قسمة : جد س@- 3 س – 5 على س - 5 هو :
ا~ - 5 ب~ 5 ج~ -3 د~ 3
۲~ أي مستقيمين عموديين على مستوي واحد يكونا :
ا~ عموديين ب~ متخالفين ج~ متوازيين د~ متقاطعين
3~ مكعب طول حرفه ۲سم يكون طول قطره =
ا~ 12 سم ب~ ۲ [3خح / سم ج~ 8 د~ [8خح /
4~ إذا كان العدد ۲ يمثل جذر لكثيرة الحدود جد س@- 5 س + ا فإن قيمة ا =
ا~ 6 ب~ - 6 ج~ - ۲ د~
5~ إذا كان ‘ اب‘ = 6سم , وطول مسقطها على مستوى سس = 3سم .فإن زاوية ميلها على سس =
ا~ 90% ب~ 30% ج~ 45% د~ 60%
6~ إذا كان : ل , م مستقيمين غير متقاطعين ولا يجمعهما مستو واحد فإن :
ا~ ل ] م ب~ ل عع م ج~ ل = م د~ ل يخالف م
السؤال الثاني: ا~ أوجد كثيرة حدود جذريها 3، 5 ومعاملها الرئيسي ۲ .
ب~ من الشكل المقابل أوجد :-
1~ مستقيمان موازيين لمستوى واحد.
۲~ مستقيمان متخالفان.
3~ ثلاثة مستقيمات تتقاطع في نقطة واحدة
4~ مسقط اب على اَ بَ جَ ءَ
5~ احسب طول مسقط اجَ على اَ بَ جَ ءَ إذا كان : ‘ ااَ ‘ = 3سم , ‘ اَ ءَ ‘ = ۲سم
اختبار قصير رقم ( 4 )
السؤال الأول: اختر الإجابة الصحيحة فيما يلي :
1~ أي مستقيمين عموديين على مستو واحد :
ا~ متخالفان ب~ متعامدان <~ متقاطعان ء~ متوازيان
۲~ إ ذا تقاطع مستويان مختلفان فإننا نحصل على :
ا~ نقطة ب~ مستقيم <~ مستقيمين ء~مس مستوى
3~ باقي قسمة : 3س# +2س@ - 1 على س - 1 يساوي
ا~ 5 ب~ 4 <~ -3 ء~ - 6
4~ مسقط قطعة مستقيمة عمودية على مستوى يكون :
ا~ مستقيم ب~ نصف مستقيم <~ نقطة ء~ قطعة مستقيمة
5~ اذا كانت : درجة د(س) =3 ودرجة س . د (س) . ه (س) = 8
ا~ 4 ب~ 3 <~ 8 ء~ 5
6~ أي زاويتين مستويتين لزاوية زوجية :
ا~ متتامتان في القياس ب~ متكاملتان في القياس <~ متطابقتان في القياس ء~ غير متساويتان في القياس
السؤال الثاني: :
1~ اذا كانت د {س} = س@ - 5 س +6 ، ه {س} = س- 3 . أوجد خارج قسمة : د {س} على ه {س}
۲~ ارسم مستويان متقاطعان .
3~ اذا كانت د(س) = س+ ۲, ه (س) = س @ -2س +4 فأوجد د(س) . ه (س)
4~ في الشكل المقابل اب عع سس < ، د ي سس بحيث : , | < ب | = 5 سم , | بء | = 9 سم , | اد| = 15 سم
فأوجد : | ا< |
( تقرير عن مشاركة سيئة )، و الموجودة أسفل كل مشاركة .
2010-10-31, 18:23
العرض العادي
