أولمبياد منتديات الجلفة: الموضوع 3

BACBAC2015 · 2012-06-23, 16:23

هـارون · 2012-06-23, 17:17

المتباينة الأولى :

$a^2+b^2 \geqslant 2ab \\ 3a^2+b^2+2ac \geqslant 2a^2+2ab+2ac\\ 3a^2+b^2+2ac \geqslant2a(a+b+c)\\ \\ {\color{red}\frac{2a}{3a^2+b^2+2ac}}\leqslant {\color{blue}\frac{1}{a+b+c}}$

و نعيد ثم نجمع

جاري التفكير في ما بقي

BACBAC2015 · 2012-06-23, 17:27

المتراجحة جيدة

أما كثير الحدود ، فأنا لم أعط كثير حدود أولمبياد الجزائر بل آخر

هـارون · 2012-06-23, 17:28

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة bacbac2015

المتراجحة جيدة

أما كثير الحدود ، فأنا لم أعط كثير حدود أولمبياد الجزائر بل آخر

آسف لم أنظر (راني مزروب شوية)

هـارون · 2012-06-23, 17:50

كثير الحدود : ايجاد درجته

$xP(2x)-16xP(x)=-16P(2x)+16P(x)\\ \\ P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}....a_n \\ \\ (2^nx^{n+1}-16x^{n+1})+2^{n-1}x^n-16x^n.....=(-16\times2^nx^n+16x^n).....\\ \\ \\ 2^n-16=0 \Rightarrow n=4$

أيجاد جذوره : نعوض فقط

$\\ x=16 \Rightarrow P(16)=0\\ \\ x=1 \Rightarrow P(2)=0 \\ \\ x=8 \Rightarrow P(8)=0 \\ \\ x=4 \Rightarrow P(4)=0$

إذن :

$P(x)=k(x-16)(x-2)(x-8)(x-4)$

=================================================

ايجاد الدالة : بسيييييييييييطة

$y=1 \Rightarrow f(x+f(x))=x+f(x)\Rightarrow f(x)=x$

هـارون · 2012-06-23, 18:14

المعادلة ما قبل الأخيرة :

$y=x-1 \Rightarrow \sqrt{y+4-\sqrt{y}}+\sqrt{y+9-6\sqrt{y}}=1\\ \\ \\ |\sqrt{y}-2|+|\sqrt{y}-3|=1 \\ \\ \begin{cases} \sqrt{y}<2\ \ {\color{red}or}\ \ \ x>3 \rightarrow {\color{blue}No\ solution}\\ \\ 2<\sqrt{y}<3\rightarrow 1=1 \ \ \ \rightarrow {\color{blue}True} \end{cases}\\ \\ 2<\sqrt{y}<3 \Leftrightarrow 4<y<9\Leftrightarrow 4<x-1<9 \\ \\ \\ 5\leq x \leq10$

BACBAC2015 · 2012-06-23, 18:28

عذرًا أخي

هـارون · 2012-06-23, 18:31

المعادلة الأخيرة :

نستفيد من حقيقة أن جداء أربعة أعداد متتالية زائد واحد مربع تام (لا حاجة لبرهنتها فهي مشهورة و بسيطة)

$y=x+10 \Rightarrow y(y+1)(y+2)(y+3)=1 \\ \\ \Leftrightarrow (y^2+3y+1)^2=2 \\ \\ \\ \begin{cases} y^2+3y+1-\sqrt{2}=0 \ \ \ \ \rightarrow \ \ {\color{red}Complex\ solutions}\\ \\ -(y^2+3y+1)-\sqrt{2}=0 \end{cases}$

الأولى لا حل لها في R أما الثانية فتحل عاديا بالمميز : لنجد :

$\begin{cases} y=\frac{-3+\sqrt{4\sqrt{2}+5}}{2}\Rightarrow x=\frac{-3+\sqrt{4\sqrt{2}+5}}{2}-10\\\ \\ y=\frac{-3-\sqrt{4\sqrt{2}+5}}{2}\Rightarrow x=\frac{-3-\sqrt{4\sqrt{2}+5}}{2}-10\\\ \\ \end{cases}$