السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته
واليكم بعض القوانين
متوازي الأضلاع:
المساحة = القاعدة × الارتفاع
المحيط = (الطول + العرض) × 2
المستطيل :
المساحة = الطول × العرض
المحيط = (الطول + العرض ) × 2
المعين:
المساحة = القاعدة × الارتفاع
= 1/2 × طول القطر الأول × طول القطر الثاني
المحيط = طول الضلع × 4
المربع:
المساحة = طول الضلع × نفسه
المحيط = طول الضلع × 4
شبه المنحرف:
المساحة = 1/2 مجموع طولي قاعدتيه المتوازيتين
المحيط = مجموع أطوال أضلاعه
المثلث:
المساحة = 1/2 القاعدة × الارتفاع
المحيط = مجموع أطوال أضلاعه
الدائرة:
المساحة = ط × نق ^2
المحيط = 2ط نق
المكعب:
الحجم =طوله × عرضه × ارتفاعه
المساحة الجانبية = 4× ( طول الحرف)^2
المساحة الكلية = 6× ( طول الحرف)^2
متوازي المستطيلات:
الحجم = الطول × العرض × الارتفاع
المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين
المنشور القائم:
الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع ( حسب القاعدة)
المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع ( حسب القاعدة)
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + (2 × مساحة القاعدة) ( حسب القاعدة)
الهرم القائم :
الحجم = 1/3 مساحة القاعدة × الارتفاع العمودي (حسب القاعدة)
المساحة الجانبية = عدد المثلثات الجانبية × مساحة أحد المثلثات
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة (حسب القاعدة)
هاي اول قانون
إذا فرضنا أن طول ضلع المسدس المنتظم : س
فإن مساحته =نصف (3جذر(3))×س2
ومعروف أن طول ضلع المسدس المنتظم داخل دائرة يساوي نصف قطرها :ر
(س=ر )
إذاً المساحة هي: نصف (3جذر(3))×ر2
** ملخص مفاهيم وقواعد المجموعات :
1)المجموعة : هي تجمع عدد من الأشياء المعرفة تعريفا تاما والتي ينظر إليها كوحدة واحدة ، وكل شيء تتضمنه المجموعة هو عنصر في المجموعة .
2) الانتماء : هو علاقة بين عنصر و مجموعة ، ويرمز له بالرمز Э ، وعدم الانتماء يرمز له بالرمز Э
3) الاحتواء : هو علاقة بين مجموعة ومجموعة ، ويرمز له بالرمز ، و عدم الاحتواء يرمز له بالرمز .
4)شكل فن : هو منحنى مغلق بسيط .
5)المجموعة الخالية : هي المجموعة التي لا تحتوي على أي عنصر ، ويرمز لها بالرمز }{ أوØ وتقرأ فاي .
والمجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من أي مجموعة أخرى .
6) المجموعة المنتهية : هي المجموعة التي يمكن حصر أو عد عناصرها .
7) المجموعة غير المنتهية : هي المجموعة التي لا يمكن عد أو حصر عناصرها .
تقاطع مجموعتين س ، ص : هو المجموعة التي تنتمي عناصرها لكل من المجموعتين س ، ص معا ويرمز لها بالرمز س∩ ص .
9) اتحاد مجموعتين س ، ص : هو المجموعة التي تنتمي عناصرها إلى س أو ص أو إلى كليهما ويرمز لها بالرمز س Uص .
10) طرح مجموعتين ( س- ص ) : هي مجموعة العناصر الموجودة في س وغير موجودة في ص .
** ملخص قواعد اتحاد المجموعات :
1) س U س = س
2) س Ø U = U Ø س = س
3) س Uص = ص Uس ( الخاصية التبديلية )
4) ( س Uص ) Uع = س U( ص Uع ) ( الخاصية التجميعية )
5) س Uك = ك U س = ك
6) س Uس = س U س = ك
** ملخص قواعد اتحاد المجموعات :
1) س ∩ س = س
2) س Ø ∩ = ∩ Ø س = Ø
3) س ∩ ص = ص ∩ س ( الخاصية التبديلية )
4) ( س ∩ ص ) ∩ ع = س ∩ ( ص ∩ ع ) ( الخاصية التجميعية )
5) س ∩ك = ك ∩ س = س
6) س ∩ س = س∩ س = Ø
*** طرق التحليل إلى العوامل الأولية
1. إخراج العامل المشترك
2. الفرق بين مربعين
س2 - ص2 = (س – ص) (س + ص)
(الأول)2 - (الثاني)2 = (الأول – الثاني) (الأول + الثاني)
3. الفرق بين مكعبين
س3 – ص3 = (س – ص) (س2 + س ص + ص2)
(الأول)3 - (الثاني)3 = (الأول – الثاني) ](الأول)2 + الأول × الثاني + (الثاني)2[
4. مجموع مكعبين
س3 + ص3 = (س + ص) (س2 - س ص + ص2)
(الأول)3 + (الثاني)3 = (الأول + الثاني) ](الأول)2 - الأول × الثاني + (الثاني)2[
5. الصورة العامة للعبارة التربيعية أ س2 + ب س + جـ
أ – عندما يكون معامل س2 = 1
س2 + ( أ + ب) س + أ × ب = (س + أ ) (س + ب )
حيث الحد الثابت (جـ) هو حاصل ضرب العددين أ ، ب، ومعامل س هو ناتج جمعهما.
ب – عندما يكون معامل س2 = 1
أ س2 + ب س + جـ ، نبحث عن عاملين للعدد ( أ × جـ) بحيث يكون مجموعهما معامل س
أ س2 + ب س + جـ = أ س2 + (العامل الأول + العامل الثاني ) س + جـ
= أ س2 + العامل الأول × س + العامل الثاني × س + جـ
= اخرج عامل مشترك من الحدين الأول والثاني وكذلك من الحدين الثالث والرابع
6. إكمال المربع
** قاعدة (1) (س + ص)2 = س2 + 2 س ص + ص2
( الأول + الثاني )2 = (الأول)2 + 2 × الأول × الثاني + (الثاني)2
** قاعدة (2) (س - ص)2 = س2 - 2 س ص + ص2
( الأول - الثاني )2 = (الأول)2 - 2 × الاول × الثاني + (الثاني)2
** قاعدة (3) عند إكمال المربع للعبارة التربيعية س2 + ب س + جـ نضيف ونطرح مربع نصف معامل س
تصبح على الصورة : (1) س2 + ب س + جـ + ( ب/2) 2 – ( ب/2) 2
(2) ]س2 + ب س + ( ب/2) 2[ + جـ – ( ب/2) 2
(3) ]س + (ب /2 ) [2 + جـ – ( ب/2) 2
تعريف (1) : المضاعف المشترك الأصغر (م . م . أ ) لمقدارين جبريين هو اصغر مقدار جبري يقبل القسمة على كل من المقدارين الجبريين بدون باق ٍ .
تعريف (2) : العامل المشترك الأكبر (ع . م . أ ) لمقدارين جبريين هو اكبر مقدار جبري يقسم عليه المقداران الجبريان دون باق
*** نظريات في الهندسة
1. زاويتا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساويتان في القياس .
2. إذا تساوى قياس زاويتين في مثلث ، كان المثلث متساوي الساقين .
3. العمود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقين على القاعدة ينصف زاوية الرأس ، وينصف القاعدة .
4. إذا كان قياس إحدى الزاويتين الحادتين في مثلث قائم الزاوية يساوي 30 ، فأن طول الضلع المقابل لهذه الزاوية يساوي نصف طول الوتر .
5. إذا اختلف طولا ضلعين في مثلث فان الضلع الأكبر يقابل زاوية قياسها اكبر من قياس الزاوية التي يقابلها الضلع الآخر .
6. إذا اختلف قياس زاويتين في مثلث فاكبرهما في القياس يقابلها ضلع اكبر في الطول من الضلع الذي يقابل الزاوية الأخرى .
7. مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول ضلعه الثالث .
8. نظرية فيثاغورس : في المثلث القائم الزاوية مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة .
9.عكس نظرية فيثاغورس : إذا كان مربع أحد أضلاع مثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين ، كان المثلث قائم الزاوية .
10. في متوازي الأضلاع كل ضلعين متقابلين متساويان ، وكل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس .
11.يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع إذا تساوى فيه كل ضلعين متقابلين .
12.يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع إذا تساوى فيه كل زاويتين متقابلتين .
13. قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر .
14. الشكل الرباعي الذي ينصف فطراه كل منهما الآخر هو متوازي أضلاع .
15. الشكل الرباعي الذي يتوازى فيه ضلعان متقابلان ، ويتساوى طولاهما هو متوازي أضلاع .
16. قطرا المعين متعامدان ، وينصف كل منهما الآخر .
17. الشكل الرباعي الذي قطراه متعامدان ، وينصف كل منهما الآخر هو معين .
18. قطرا المستطيل متساويان في الطول ، وينصف كل منهما الآخر .
19. الشكل الرباعي الذي قطراه متساويان في الطول ، وينصف كل منهما الآخر هو مستطيل .
20. قطرا المربع متساويان ، وينصف كل منهما الآخر ، ومتعامدان .
21. القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث ، وطولها يساوي نصف طوله .
22.إذا رسم من منتصف أحد أضلاع مثلث قطعة مستقيمة توازي ضلعا آخر فان هذا الموازي ينصف الضلع الثالث ، وطولها يساوي نصف طول الضلع الذي وازنته .
23.في المثلث القائم الزاوية طول القطعة المستقيمة الواصلة من راس القائمة إلى منتصف الوتر يساوي نصف طول الوتر .
24. القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي الضلعين غي المتوازيين في شبه المنحرف توازي القاعدتين وطولها يساوي نصف مجموع طوليهما .
25. القطع المتوسطة في المثلث تلتقي في نقطة واحدة ، ونقطة الالتقاء تقسم كلا من الثلاث بنسبة الثلثين من جهة الرأس الى الثلث من جهة القاعدة .
*** نظريات في التكافؤ1.
1. متوازي الأضلاع يكافئ المستطيل المشترك معه في القاعدة والمحصور معه بين مستقيمين متوازيين .
2. متوازيا الأضلاع المشتركان في القاعدة والمحصوران بين مستقيمين متوازيين متكافئان .
3. مساحة المثلث تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع المشترك معه في القاعدة والمحصور معه بين مستقيمين متوازيين .
4. مساحة المثلث تساوي نصف مساحة المستطيل المشترك معه في القاعدة والمحصورين بين مستقيمين متوازيين
5. المثلثان المشتركان في القاعدة والمحصوران بين مستقيمين متوازيين متكافئان .
*** تعريفات في الهندسة1.
1. المثلث : هو مضلع مغلق له ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا .
2. الشكل الرباعي : هو مضلع مغلق له أربعة أضلاع و أربع زوايا .
3. متوازي الأضلاع : هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان .
4. المعين : هو متوازي أضلاع جميع أضلاعه تتساوى في الطول .
5. المستطيل : هو متوازي أضلاع إحدى زواياه قائمة .
6. المربع : هو متوازي أضلاع جميع أضلاعه متساوية وإحدى زواياه قائمة .
7. شبه المنحرف : هو شكل رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان فقط .
8. التكافؤ : هو التساوي في المساحة .
*** حقائق في الهندسة
1. مجموع قياسات زوايا المثلث تساوي 180 .
2. مجموع قياسات زوايا الشكل الرباعي تساوي 360 .
*** قوانين في الهندسة 1-
1. مساحة المثلث = نصف القاعدة × الارتفاع
2- مساحة المستطيل = الطول × الارتفاع
3- مساحة المربع = طول الضلع × طول الضلع
4- مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة × الارتفاع النازل على القاعدة
5- مساحة شبه المنحرف = نصف ( مجموع القاعدتين ) × الارتفاع
6- مساحة سطح الكرة = 4 × طـ × نق2
7- حجم الكرة = 4/3 × طـ × نق2
*** مسلمات التباين
1- إذا كان أ ، ب عددين ، بحث إن أ > ب ، وكان ج أي عدد ، فان 1- أ + جـ > ب + جـ
2- أ – جـ > ب – جـ
2- إذا كانت أ ، ب ، جـ أعدادا ، بحيث إن أ > ب ، ب > جـ فان أ > جـ
3- إذا كانت أ ، ب ، جـ ، د أعدادا ، بحيث إن أ > ب ، جـ > د فان أ + جـ > ب + د
4- إذا كان أ ، ب عددين ، بحث إن أ > ب ، وكان جـ عددا موجبا ، فان أ جـ > ب جـ
قواعد قابلية القسمة
قابلية القسمة على صفر
أي عدد ينقسم على صفر سيكون الناتج قيمة تخيلية ( غير معرفة )
قابلية القسمة على 1
أي عدد ينقسم على 1 و سيكون الناتج هو العدد نفسه مثل :
5÷1=5 و لا داعي للتكرار
قابلية القسمة على 2
أي عدد ينقسم على 2 إذا كان بآحاده عدد زوجي ( العدد الزوجي هو الذي بآحاده أحد الأرقام 0-2-4-6-8 )
مثل
250 عدد يقبل القسمة على 2 لان بآحاده العدد 0 و هو عدد زوجي
72 عدد يقبل القسمة على 2 لان بآحاده العدد 2 و هو عدد زوجي
24 عدد يقبل القسمة على 2 لان بآحاده العدد 4 و هو عدد زوجي
76 عدد يقبل القسمة على 2 لان بآحاده العدد 6 و هو عدد زوجي
2458 عدد يقبل القسمة على 2 لان بآحاده العدد 8 و هو عدد زوجي
قابلية القسمة على 3
أي عدد ينقسم على 3 إذا كان مجموع أرقامه من مضاعفات العدد 3
( مضاعفات 3 هي : 3-6-12-15-18-21-24-27-30-33-36-39-42-.......... و هي غير منتهية )
مثال
48 عدد يقبل القسمة على3 لان مجموع أرقامه 12(8+4=12) و 12 من مضاعفات العدد 3
3549 عدد يقبل القسمة على3 لان مجموع أرقامه21 (9+4+5+3=21) و 21 من مضاعفات العدد 3
780 عدد يقبل القسمة على 3 لان مجموع أرقامه 15 (0+8+7=15) و15 من مضاعفات العدد 3
قابلية القسمة على 4
أي عدد يقبل القسمة على 4 إذا كان رقم آحاده و عشراته يقبل القسمة على 4 ( من مضاعفات العدد 4 )
مثال
80340 عدد يقبل القسمة على 4 لان بآحاد و عشراته الرقم 40 و هو يقبل القسمة على 4
55336 عدد يقبل القسمة على 4 لان بآحاد و عشراته الرقم 36 و هو يقبل القسمة على 4
قابلية القسمة على 5
أي عدد يقبل القسمة على 5 إذا كان بآحاده ( 0 أو 5 )
مثال
80450 عدد يقبل القسمة على 5 لان بآحاده الرقم صفر
84785 عدد يقبل القسمة على 5 لان بآحاده الرقم خمسة
قابلية القسمة على 6
أي عدد يقبل القسمة على 6 إذا كان يقبل القسمة على 2 و 3 في آن واحد ( راجع قابلية القسمة على 2 و 3 بالأعلى )
مثال
30450 عدد يقبل القسمة على 6 لأنه يقبل القسمة على 2 و 3 معا
8532 عدد يقبل القسمة على 6 لأنه يقبل القسمة على 2 و 3 معا
قابلية القسمة على 7
أي عدد يقبل القسمة على 7 إذا كان ضعف رقم آحاده منقوص منه باقي الرقم من مضاعفات العدد 7
( مضاعفات 7 هي : 7-14-21-28-35-42-49-56-63-70-77-.......... و هي غير منتهية )
مثال
343 عدد يقبل القسمة على 7 لان ( 3×2-34=-28 ) و -28 هو من مضاعفات العدد7
196 عدد يقبل القسمة على 7 لان ( 6×2-19=-7 ) و-7 هو من مضاعفات العدد7
قابلية القسمة على 9
أي عدد يقبل القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9 ( أو من مضاعفات العدد 9 )
مثال
90450 عدد يقبل القسمة على 9 لان مجموع أرقامه ( 0+5+4+0+9=18 ) و 18 من مضاعفات العدد 9
42238 عدد يقبل القسمة على 9 لان مجموع أرقامه ( 8+3+2+2+4=18 ) و 18 من مضاعفات العدد 9
قابلية القسمة على 10
ألعدد يقبل القسمة على 10 إذا كان بآحاده العدد صفر
مثال
80450 عدد يقبل القسمة على 10 لان بآحاده العدد صفر
قابلية القسمة على 11
يقال أي عدد يقبل عدد ما القسمة على 11 إذا كان
الفرق بين مجموع المنازل الفردية ومجموع المنازل الزوجية ( 0 أو يقبل القسمة على 11 )
مثال
121 عدد يقبل القسمة على 11 لان بمجموع الأعداد الفردية ( 1+1=2) و الفرق بين العداد الفردية و الزوجية 2-2=0
143 عدد يقبل القسمة على 11 لان بمجموع الأعداد الفردية ( 3+1=4) و الفرق بين العداد الفردية و الزوجية 4-4=0
المثلث في علم الرياضيات
المثلث هو أحد الاشكال الاساسية في الهندسة.و هو شكل ثنائي الأبعاد مكون من ثلاثة رؤوس تصل بينها ثلاثة اضلاع، التي هي عبارة عن قطع مستقيمة.
أنواع المثلثات
من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لاطوال اضلاعها كما يلي:
مثلث متساوي الأضلاع: وهو مثلث أضلاعه متساوية. جميع زوايا المثلث متساوي الاضلاع متساوية أيضا، وقيمتها 60 درجة.
مثلث متساوي الساقين: وهو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتان أيضا.
مثلث مختلف الأضلاع: وهو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة. زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.
كما يمكن تصنيف المثلثات تبعا لقياس أكبر زاوية في المثلث:
مثلث قائم: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.
مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة (زاوية منفرجة).
مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).
حقائق عن المثلثات
مثلث مع رموز عناصره
تشابه مثلثين
يقال عن مثلثين انهما متشابهين اذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، اي عندما ينتج احدهما عن الاخر بتكبيره او تصغيره. ان اطوال اضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، اي انه اذا كان طول اقصر اضلاع المثلث الاول هو ضعفا طول اقصر اضلاع المثلث الثاني، فان طول كل من الضلعين الاطول و المتوسط من المثلث الاول هو ضعفا طولي لضلعين الاطول و المتوسط من المثلث الثاني ايضا، و بالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الاقصر و الاطول في المثلث الاول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الاقصر و الاطول في المثلث الثاني.
نظرية فيثاغورث
واحدة من النظريات الاساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورث و التي تنص على انه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (ا َ) يساوي الى مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (ب َ، ج َ)، اي:
د َ² = ب َ² + ج َ²
مما يعني ان معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كاف لمعرفة طول الضلع الثالث:
من الممكن تعميم نظرية فيثاغورث لتشمل اي مثلث عبر قانون التجيب:
د َ² = ب َ² + ج َ² - 2 ب َ ج َ تجب د
و هو صحيح من اجل كل المثلثات حتى و لو لم تكن د قائمة.
سؤال:هل تبقى النظرية صحيحة في حالة ان تكون الاشكال المقامة مضلعات منتظمة اخرى مثل مضلع ثلاثي:أو خماسي أو سداسي،...الخ
يحول المثلث اولا لمتوازي اضلاع
مساحته ضعف مساحة المثلث، ثم الى مستطيل
مساحة المثلث
تعطى مساحة المثلث بالقانون:
سط = ق × ع / 2
حيث ان ق هي طول احدى اضلاع المثلث (القاعدة)، و ع هو طول العمود النازل على هذا الضلع من الرأس المقابل له (الارتفاع).
من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:
يحول المثلث اولا لمتوازي اضلاع
مساحته ضعف مساحة المثلث، ثم الى مستطيل.
مثلث أحد الأشكالِ الأساسيةِ في هندسة: شكل ثنائي الأبعاد بثلاثة قِمَم وثلاثة جوانبِ بشكل خطوط مستقيمة .
أنواع المثلثاتِ
المثلثات يُمْكِنُ أَنْ تُصنّفَ طبقاً للأطوالِ النسبيةِ مِنْ جوانبِهم:
في مثلث متساوي الأضلاع كُلّ الجوانب مِنْ الطولِ المساويِ. مثلث متساوي الأضلاع أيضاً متساوي الزوايا ، وبمعنى آخر: . كُلّ داخليه زاوية مساوية &mdash؛ يعني، 60 °؛ ؛ هو a مضلع منتظم
في مثلث متساوي الساقين جانبان مِنْ الطولِ المساويِ. مثلث متساوي الساقين لَهُ زاويتان داخليتانُ مساويتانُ أيضاً.
في مثلث مختلف الزوايا كُلّ الجوانب لَها أطوالُ مختلفةُ. إنّ الزوايا الداخليةَ في a scalene مثلث جميعاً مختلف.
المثلثات يُمْكِنُ أيضاً أَنْ تُصنّفَ طبقاً لحجمِ زاويتِهم الداخليةِ الأكبرِ، وَصفَ تحت إستعمال درجة مِنْ القوسِ.
أي مثلث قائم (أَو مثلث قائم الزاوية ) عِنْدَهُ 90 واحد °؛ الزاوية الداخلية (a زاوية قائمة). الجانب قبالة الزاوية القائمة وتر زاوية قائمة ؛ هو الجانبُ الأطولُ في المثلث القائمِ. إنّ الجانبانَ الآخرَ سيقان المثلثِ.
مثلث منفرج عِنْدَهُ زاويةُ داخليةُ واحدة أكبرُ مِنْ 90 °؛ ( زاوية منفرجة).
مثلث حادّ عِنْدَهُ زوايا داخليةُ التي جميعاً أصغر مِنْ 90 °؛ (ثلاثة زاوية حادة ).
القوانين الأساسية في الجبر
هناك خمسة قوانين أساسية في الجبر تحكم عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة ويعبَّر عنها باستخدام متغيرات ويمكن التعويض عنها بأي عدد كان
وهذه القوانين هي
1) الخاصية الإبدالية للجمع
س + ص = ص + س
وتعني أن الترتيب غير مهم عند جمع عددين إذ إن النتيجة واحدة
2) الخاصية التجميعية للجمع
س + ( ص + ع ) = ( س + ص ) + ع
وتعني أنه عند جمع ثلاثة أعداد أو أكثر فإنه يمكن جمع أي تشكيل منها أولاً ثم إكمال الجمع دون أن يتأثر الناتج النهائي
3) الخاصية الإبدالية للضرب
س ص = ص س
وتعني أن الترتيب غير مهم عند ضرب عددين إذ إن النتيجة واحدة
4) الخاصية التجميعية للضرب
س ( ص ع ) = ( س ص ) ع
وتعني أنه عند ضرب ثلاثة أعداد أو أكثر فإنه يمكن ضرب أي تشكيل منها أولا ثم إكمال الضرب دون أن يتأثر الناتج النهائي
5) خاصية توزيع الضرب على الجمع
س ( ص + ع ) = س ص + س ع
قابلية القسمة على بعض الأعداد وفكرتها مستوحاة من قاعدة قابلية القسمة على العدد 7
ليكن ن عدداً طبيعياً رقم آحاده س ، وَ ليكن ص العدد الطبيعي الناتج من حذف رقم الآحاد س من العدد ن
1/ يكون ن قابلاً للقسمة على 11 إذا وَ فقط إذا كان ( ص - س ) قابلاً للقسمة على 11
2/ يكون ن قابلاً للقسمة على 31 إذا وَ فقط إذا كان (ص - 3 س ) قابلاً للقسمة على 31
3/ يكون ن قابلاً للقسمة على 41 إذا وَ فقط إذا كان ( ص - 4 س ) قابلاً للقسمة على 41
4/ يكون ن قابلاً للقسمة على 61 إذا وَ فقط إذا كان ( ص - 6 س ) قابلاً للقسمة على 61
5/ يكون ن قابلاً للقسمة على 71 إذا وَ فقط إذا كان ( ص - 7 س ) قابلاً للقسمة على 71
6/ يكون ن قابلاً للقسمة على 19 إذا وَ فقط إذا كان ( ص + 2 س) قابلاً للقسمة على 19
7/ يكون ن قابلاً للقسمة على 29 إذا وَ فقط إذا كان ( ص + 3 س ) قابلاً للقسمة على 29
8/ يكون ن قابلاً للقسمة على 59 إذا وَ فقط إذا كان ( ص + 6 س ) قابلاً للقسمة على 59
9/ يكون ن قابلاً للقسمة على 79 إذا وَ فقط إذا كان ( ص + 8 س ) قابلاً للقسمة على 79
10/ يكون ن قابلاً للقسمة على 89 إذا وَ فقط إذا كان ( ص + 9 س ) قابلاً للقسمة على 89
11/ يكون ن قابلاً للقسمة على 13 إذا وَ فقط إذا كان ( ص + 4 س ) قابلاً للقسمة على 13
12/ يكون ن قابلاً للقسمة على 23 إذا وَ فقط إذا كان ( ص + 7 س ) قابلاً للقسمة على 23
13/ يكون ن قابلاً للقسمة على 43 إذا وَ فقط إذا كان ( ص + 13 س ) قابلاً للقسمة على 43
14/ يكون ن قابلاً للقسمة على 53 إذا وَ فقط إذا كان ( ص + 16 س ) قابلاً للقسمة على 53
15/ يكون ن قابلاً للقسمة على 73 إذا وَ فقط إذا كان ( ص + 22 س ) قابلاً للقسمة على 73
16/ يكون ن قابلاً للقسمة على 83 إذا وَ فقط إذا كان ( ص + 25 س ) قابلاً للقسمة على 83
17/ يكون ن قابلاً للقسمة على 17 إذا وَ فقط إذا كان ( ص - 5 س ) قابلاً للقسمة على 17
18/ يكون ن قابلاً للقسمة على 37 إذا وَ فقط إذا كان ( ص - 11 س ) قابلاً للقسمة على 37
19/ يكون ن قابلاً للقسمة على 47 إذا وَ فقط إذا كان ( ص - 14 س ) قابلاً للقسمة على 47
20/ يكون ن قابلاً للقسمة على 67 إذا وَ فقط إذا كان ( ص - 20 س ) قابلاً للقسمة على 67
21/ يكون ن قابلاً للقسمة على 97 إذا وَ فقط إذا كان ( ص - 29 س ) قابلاً للقسمة على 97
مع ملاحظة أنه في جميع العلاقات السابقة يمكن إستبدال ( ص - 5 س ) مثلاً بــ ( س - 5 ص )
النسبة والمعدل
ربما كثير منا لا يفرق بين النسبة والمعدل
وفي الحقيقة مفهوم النسبة أشمل من مفهوم المعدل
فكل معدل يقال له نسبة ولكن العكس غير صحيح
فالنسبة هي المقارنة بين مقدارين من النوع نفسه و المثال على ذلك:
نسبة عمر زياد الى عمر رياض 25/50
واما المعدل هو المقارنة بين مقدارين من نوعين مختلفين
أي بين وحدات الطول ووحدات الزمن أو بين وحدات المساحه ووحدات الحجوم
وهكذا و المثال على ذلك:
تقطع سيارة ما مسافة50كلم لكل ساعة وتكتب رياضياً 50كلم/
قوانين حساب المثلثات
1- القياس الدائري لزاوية مركزية =
(طول القوس من دائرة محصور بين ضلعي الزاوية)/(طول نصف قطرهذه الدائرة).
القياس الدائري لزاوية مركزية =طول القوس من دائرة الوحدة المحصور
بين ضلعيها .
القياس الدائري للزاوية=القياس الستيني لها في (ط/180)
القياس الستيني للزاوية = القياس الدائري لها في (180/ط)
2- اذا كان (س.ص) نقطة من دائرة الوحدة وعبرنا عن جتا هـ =سجا هـ =ص ,هـ زاوية موجهة قياسية في دائرة الوحدة :
(جيب تمام الزاوية )=جتا هـ = س
(جيب الزاوية )=جا هـ = ص
(ظل الزاوية)=ظاهـ= ص/س=جا هـ/جتا هـ .
(قاطع الزاوية )=قا هـ = 1/س=1/جتا هـ .
(قاطع التمام)=قتا هـ = 1/ص=1/جا هـ.
(ظل التمام)=ظتا هـ=س/ص =جتا هـ/جاهـ.
3-خواص الدوال المثلثية :
(أ):
جا(90- هـ)=جتا هـ .
جتا(90- هـ)=جا هـ .
ظا(90- هـ)=ظتا هـ .
جا(180- هـ)=جاهـ
جتا(180 - هـ)=-جتاهـ
ظا(180- هـ )= -ظا هـ
حا(360 - هـ)=-جاهـ
جتا (360 -هـ)=جتا هـ
ظا (360 - هـ)=- ظا هـ
(ب):
جا(-هـ)=-جا هـ
جتا(- هـ)=جتا هـ
ظا(-هـ)=-ظا هـ
(ج):
جا(2ن ط - هـ)=-جا هـ ,,,, ن تنتمي لمجموعة الاعداد الصحيحة
جتا(2ن ط - هـ)= جتا هـ ,,,, ن تنتمي لمجموعة الاعداد الصحيحة
ظا (2ن ط - هـ )=-ظا هـ .,,,, ن تنتمي لمجموعة الاعداد الصحيحة
4- في المثلث القائم الزاوية : زاويته الحادة هـ
جا هـ = المقابل / الوتر.
جتا هـ =المجاور / الوتر .
ظا هـ = المقابل / المجاور
الحجوم
السنتيمتر المكعب : هو حجم مكعب طول حرفه واحد سنتيمتر ويرمز له بالرمز 1سم3
الديسمتر المكعب : هو حجم مكعب طول حرفه واحد ديسمتر ويرمز له بالرمز 1ديسم3
المتر المكعب : هو حجم مكعب طول حرفه واحد متر ويرمز له بالرمز 1م3
حجم متوازى المستطيلات = حجم متوازى المستطيلات = الطول x العرض x الإرتفاع
حجم متوازى المستطيلات = مساحة القاعدة x الإرتفاع
حجم متوازى المستطيلات = حاصل ضرب أبعاده الثلاثة
مساحة القاعدة = حجم متوازى المستطيلات ÷ الإرتفاع
الإرتفاع = حجم متوازى المستطيلات ÷ مساحة القاعدة
إذا تساوت الأبعاد الثلاثة لمتوازى المستطيلات فإنه يسمى مكعباً
حجم المكعب = طول الحرف x طول الحرف x طول الحرف
المضلع هو : خط منكسر مغلق فى المستوى
تسمى القطع المستقيمة أضلاع المضلع
تسمى نقط نهايات القطع المستقيمة رؤوس المضلع
ونقطتى نهايتى نفس ضلع المضلع تسميان رأسين متجاورين للمضلع
قطر المضلع : هو القطعة المستقيمة الواصلة بين رأسين غير متجاورين من رؤوسه
أنواع المضلعات
المثلث : هو مضلع له ثلاثة أضلاع
الشكل الرباعى : هو مضلع له أربع أضلاع
المخمس : هو مضلع له خمسة أضلاع
المسدس : هو مضلع له ستة أضلاع
المضلع النونى : هو مضلع له ن من الأضلاع
ويكون المضلع الذى لع أكثر من ثلاثة أضلاع محدباً أو مقعراً
المضلع المحدب : مضلع كل زاوية من زواياه أصغر من زوايا مستقيمة
المضلع المقعر : مضلع زاوية على الأقل من زواياه تكون منعكسة
المضلع المتساوى الأضلاع : هو مضلع كل أضلاعه متساوي فى الطول
المضلع المتساوى الزوايا : هو مضلع كل زواياه متساوية فى القياس
المضلع المنتظم : هو مضلع متساوى الأضلاع ومتساوى الزوايا
أقطار المضلع النونى : المرسومة من رأس من رؤوسه تقسمهإلى ( ن-1)من المثلثات
مججموع قياسات الزوايا الدخلية للمضلع النونى = ( ن-2 ) x180
قياس كل زاوية من زوايا مضلع نونى منتظم= ( ن-2) x180
ن
شبه المنحرف : هو شكل رباعى فيه ضلعان متوازيان فقط
شبه المنحرف المتساوى الساقين : هو شبه منحرف فيه الضلعان غير المتوازيين متساويين فى الطول
متوازى الأضلاع : هو شكل رباعى فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين
المعين : هو متوازى أضلاع متساوى الأضلاع
المستطيل : هو متوازى أضلاع فيه زاوية قائمة
المستطيل : هو شكل رباعى كل ضلعين فيه متساويان فى الطول ومتوازيين وكل زاويه من زواياه قائمة
المربع : هو مستطيل متساوى الأضلاع
الدائرة : هى مجموعة نقط المستوى التى بعد كل منها من نقطة ثابتة فى المستوى يساوى مقداراً ثابتاً
النقطة الثابتة تسمى المركز
المقدار الثابت يسمى طول نصف قطر الدائرة
نصف قطر الدائرة : هو قطعة مستقيمة تصل بين مركز الدائرة لأى نقطة من نقطها
الوتر : هو قطعة مستقيمة تصل بين اى نقطتين من نقطه
قطر الدائرة : هو وتر للدائرة يمر بمركزها
قوس الدائرة : هو جزء منها يتكون من نقطتى نهاية على الدائرة الواقعة بينهما
قاطع الدائرة : هو الخط المستقيم العمودى على نصف قطر للدائرة عند نقطة ثابتة على الدائرة
الدائرة الداخلة لمضلع : هى الدائرة التى تقع داخل المضلع وتكون مماسة لجميع أضلاع المضلع
المضلع المحيط للدائرة : هو المضلع الذى جميع أضلاعه مماسة للدائرة الواقعة داخله
القطع الناقص : هو مجموعة نقط المستوى التى مجموع بعدى كل منها عن نقطتين ثابتتين فى المستوى يساوى مقداراًثابتاً
القطاع الدائرى : هو جزء من سطح الدائرة محصور بين قوس ونصفى القطرين المارين بنهايتى ذلك القوس
المنشور : هو الجسم المتولد من إنتقال سطح مضلع موازياً لنفسه فى إتجاه ثابت ويسمى سطح المضلع فى كل من وضعه الأول والاخير قاعدة المنشور
من خواص المنشور:
1 – قاعدتاه متوازيتان ومتطابقتان
2 – الرؤوس تم أثناء الإنتقال للأحرف الجانبية وهى متوازية ومتساوية فى الطول
3 –الأضلاع ترسم أثناء الإنتقال للأوجه الجانبية للمنشور
حالات خاصة للمنشور:
1 – متوازى السطوح : منشور كل من قاعدتيه سطح متوازى أضلاع
أقطار متوازى السطوح : هى القطع المستقيمة التى تصل بين رأسين ليسا فى وجه واحد وعددها أربعة
2- متوازى المستطيلات : منشور قائم كل من قاعدتيه سطح مستطيل
3 – المكعب متوازى مستطيلات تساوت أبعاده الثلاثة
أقطار متوازى السطوح تتقاطع فى نقطةواحدة هى منتصف كل منها
ترسم الدائرة بمعلومية طول نصف قطرها ( نق )
يرسم المستطيل بمعلومية الطول والعرض
يرسم المربع بمعلومية طول ضلعه
طرق رسم المثلث
1 – يرسم المثلث بمعلومية طولى ضلعين فيه وقياس الزاوية المحصورة بينهما
2 – يرسم المثلث بمعلوميى قياسى زاويتين وطول الضلع المرسوم من رأسيهما
3 – يرسم المثلث بمعلوية أطوال أضلاعه الثلاثة
للمثلث 6 عناصر هى 3 أضلاع و 3زوايا
للمثلث 3 إرتفاعات
تتقاطع جميعها فى نقطة واحدة
داخل المثلث إذا كان حاد الزوايا
عند رأس الزاوية القائمة إذا كان المثلث قائم الزاوية
خارج المثلث إذا كان المثلث منفرج الزاوية
نوع المثلث بالنسبة لأطوال أضلاعه
1 – متساوى الاضلاع
2 – متساوى الساقين
3 – مختلف الأضلاع
نوع المثلث بالنسبة لقياسات زواياه
1 – قائم الزاوية
2 – منفرج الزاوية
3- حاد الزوايا
الخط المستقيم : هو مجموعة من النقط على إستقامة واحدة ليس له نقطة بداية وليس له نقطة نهاية ولا يمكن قياس طوله
الشعاع : هو مجموعة من النقط على إستقامة واحدة له نقطة بداية وليس له نقطة نهاية ولا يمكن قياس طوله
القطعة المستقيمة : هو مجموعة من النقط على إستقامة واحدة لها نقطة بداية و لها نقطة نهاية و يمكن قياس طولها
الزاوية : هى إتحاد شعاعين نقطة بدايتهما واحدة
المساحة الجانبية للمكعب = مساحة وجه واحد x 4
المساحة الكلية للمكعب = مساحة وجه واحد x 6
مساحة الوجه الواحد = المساحة الكلية ÷ 6
مساحة الوجه الواحد = المساحة الجانبية ÷ 4
النسبة بين المساحة الجانبية والمساحة الكلية للمكعب = 2 : 3
طول الحرف = مجموع أطوال أحرفه ÷ 12
للمكعب 6 أوجه كل منها على شكل مربع
وله 8 رؤوس
وله 12 حرفاً
المساحة الجانبية لمتوازى المستطيلات =مجموع مساحات الأوجه الجانبية
المساحة الجانبية لمتوازى المستطيلات = محيط القاعدة x الإرتفاع
الإرتفاع = المساحة الجانبية ÷ محيط القاعدة
المساحة الكلية لمتوازى المستطيلات = المساحة الجانبية + مجموع مساحتى القاعدتين
مجموع مساحتى القاعدتين = المساحة الكلية – المساحة الجانبية
مساحة القاعدة = مجموع مساحتى القاعدتين ÷ 2
متوازى المستطيلات له 6 أوجه كل منها على شكل مستطيل وكل وجهين متقابلين فيه متساويان فى المساحة ومتوازيين
وله 8 رؤوس
وله 12 ضلعاً
الأبعاد الثلاثة لمتوازى المستطيلات هى
الطول و العرض والإرتفاع
مجموع أبعاده الثلاثة = الطول + العرض + الإرتفاع
الطول = مجموع الأبعاد الثلاثة – ( العرض + الإرتفاع )
العرض = مجموع الأبعاد الثلاثة – ( الطول + الإرتفاع )
الإرتفاع = مجموع الأبعاد الثلاثة – ( الطول + العرض )
مجموع أطوال أبعاده = مجموع الأبعاد الثلاثة x 4
مجموع الأبعاد الثلاثة = مجموع أطوال أبعاده ÷ 4
محيط المربع = طول الضلع x 4
طول الضلع = المحيط ÷ 4
مساحة المربع = طول الضلع x نفسه
محيط المستطيل = ( الطول + العرض ) x 2
نصف محيط المستطيل = الطول + العرض
الطول = نصف محيط المستطيل – العرض
العرض = نصف محيط المستطيل – الطول
مساحة المستطيل = الطول x العرض
الطول = مساحة المستطيل÷ العرض
العرض = مساحة المستطيل ÷ الطول
محيط أى شكل : هو طول الخط المغلق الذى يحد هذا الشكل
محيط أى شكل هندسى = مجموع أطوال أضلاعه
محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاع الثلاثة
محيط المثلث المتساوى الأضلاع = طول الضلع x 3
طول ضلع المثلث المتساوى الأضلاع = محيط المثلث ÷ 3
أسليب جمع البيانات
1 – العد والتسجيل
2 – القياس
3- سؤال الآخرين
طرق تمثيل البيانات
1- طريقة تمثيل البيانات بالأعمدة
2 – طريقة تمثيل البيانات بإستخدام الخط المنكسر
3 – طريقة تمثيل البيانات بالأعمدة المزدوجة
4 – طريقة تمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية
الأعداد المنتسبة: يسم العدد المكون من وحدة وأجزائها عدداً منتسباً
من أمثلة الأعداد المنتسبة
وحدات قياس الزمن
وحدات النقود
وحدات قياس الأوزان
وحدات قياس الطول
وحدات قياس مساحة الأراضى الزراعية
وحدات قياس المساحة
وحدات قياس الحجم والسعة
أيام الأسبوع
السبت- الأحد – الإثنين – الثلاثاء – الأربعاء – الخميس – الجمعة
شهور السنة الهجرية
محرم – صفر – ربيع أول – ربيع آخر – جماد أول – جماد آخر – رجب - شعبان – رمضان – شوال –ذو القعدة – ذو الحجة
شهور السنة الميلادية
يناير – فبراير – مارس – إبريل – مايو – يونية – يولية – أغسطس – سبتمبر – أكتوبر – نوفمبر – ديسمبر
شهور السنة القبطية
توت – بابة – هاتور – كيهك – طوبة – أمشير – برمهات – برمودة – بشنس – بؤونة – أبيب – مسرى
فصول السنة
الشتاء – الربيع – الصيف – الخريف
الأسبوع = 7 أيام
الشهر = 30 يوماً
السنة = 12 شهراً
عدد أيام السنة الهجرية = 354 يوماً
عدد أيام السنة الميلادية البسيطة = 365 يوماً
عدد أيام السنة الميلادية الكبيسة = 366 يوماً
المثلث:
مساحة المثلث = نصف طول القاعدة × الارتفاع
= نصف حاصل ضرب الضلعين × جيب الزاوية المحصورة بينهما
الدائرة:
مساحة الدائرة = ط نق 2
محيط الدائرة = 2 ط نق
متوازي الاضلاع:
مساحة متوازي الاضلاع = القاعدة × الارتفاع
محيط متوازي الاضلاع = 2× مجموع الضلعين المتجاورين
متوازي المستطيلات:
المساحة الكلية = مجموع مساحات الأوجه الستة
المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع
الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع
المخروط القائم:
الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع = ط نق 2 × ع
الكرة:
المساحة = 4 ط نق 2
الحجم = ط نق 3
الاسطوانة:
المساحة الجانبية = محيط القاعدة×الارتفاع
= 2ط نق ع
المعلومات البسيطة في الهندسة
*الزاوية المركزية تســــاوي ضــعفي الزاوية المحيطة المشتركة معــها في نفس القوس
*مجــمـوع الزاويتــــيــن المـتـقابلتـين فــي الشـــكل الرباعـــي الدائــري =180درجة
*الزاوية الخارجية في الشـكل الرـاعي الدائـري = الزاوية الداخلية المقابلة لجاورتـها
*الزاويـتان المتــكاملتــان هما كل زاويتين يكون مجموع قياس زاويــتهـما180 درجة
*المـــستقيــمان المتـــعامدان هما ـكل مسـتقيمين ينــتج من تـقاطعـــهمازاوية قائــمة
*الزاويــة الخارجــية لــلمثلــث هي كــل زاوــية مكــملة لاحــدى زوايــا المــثــلــث
انواع الزوايا:
زاوية حادة يكون قياسها اقل من 90 درجة
زاوية مستقيمة يكون قياسها 180 درجة
زاوية منعكسة قياسها اكبر من 180 درجة
زاوية منفرجة ويكون قياسها بين 90 و 180 درجة
زاوية قائمة ويكون قياسها 90 درجة دائما
انواع المستقيمات
للمستقيمات نوعان فقط هما:
مستقيمين متوازين : وهي المستقيمات التي لا تلتقي مهما امتدت.
مستقيمين متقاطعين:هي المستقيمات التي تلتقي عند امتدادها.
أتمنى أن تستفيدوا . آسفة لم أستطع تحويل الرموز من العربية إلى الفرنسية , شكرا لكم
( تقرير عن مشاركة سيئة )، و الموجودة أسفل كل مشاركة .
2010-09-01, 15:32
سلام
سلام
.gif "انا معكم")
...لانني و بصراحة لا اتذكر اشياءا كثيرة...فالعام الماضي الاضراب ولم نركز في الدروس جيدا...
العرض العادي
