حجج التجريبي: (جون ستيوارت مل، جون لوك، دفيد هيوم)
1) إن الرياضيات مثل جميع معارفنا الاخرى لم ترد علينا من جهة أخرى سوى العالم الخارجي فهو المصدر اليقيني للمعرفة وبالتالي لجميع الأفكار والمبادئ وأن كل معرفة عقلية هي صدى لإدراكاتنا الحسية عن هذا الواقع وعلى هذا تصبح التجربة هي مصدر كل أفكارنا ومعارفنا (عرض الموقف كفكرة).
2) إن بعض المفاهيم الرياضيات تم استنتاجها من العالم الحسي أو الواقعي فالشمس مثلا توحي بفكرة الدائرة والأشجار بفكرة العدد والجبل يوحي بفكرة المثلث وغيرها من المفاهيم التي يوجد ما يقابلها في العالم الحسي حيث يقول جون ستيوارت مل: (( إن النقط والخطوط والدوائر التي في أذهاننا هي مجرد نسخ للنقط والخطوط والدوائر التي نراها في تجربتنا الحسية )).
3) ليس ثمة في الذهن أو العقل معارف قبلية مستقلة عما تمدنا به التجربة وتلقنه لنا الممارسات، لذلك يقول الفلاسفة التجريبيون: (( لا يوجد شيء في الذهن ما لم يوجد من قبل في التجربة )). فالإنسان قبل التجربة عبارة عن صفحة بيضاء ثم يبدأ شيئا شيئا في اكتشاف العالم الخارجي حيث يتأثر بصفات وكيفيات الأشياء.
4) إن بداية الرياضيات كانت بداية حسية انطلاقا من تعامل الإنسان مع الأشياء التي تحيط به كالعد بالأصابع والحصى ثم تدرج شيئا فشيئا في خلع الصفة الحسية لها لتصبح فيما بعد مفاهيم عقلية.
5) إن تاريخ العلوم يدلنا على أن الرياضيات قبل أن تصبح علما عقليا قطعت مرحلة كلها تجريبية بدليل أن العلوم المادية تطورت قبل غيرها، فالهندسة سبقت الحساب والجبر لأنها أقرب إلى الواقع الحسي.
6) إن علم النفس يبين لنا أن الطفل لا يدرك إلا بعض الأعداد البسيطة فإذا ما زاد على ذلك قال عنه كثير فمثلا لو أعطينا طفلا 3 حبات من الزيتون وأعطينا أخاه الأكبر 5 حبات فإن الطفل يشعر بضيق لكنه لا يدرك أن أخاه يفوقه بحبتين.
7) إن علم النفس يؤكد أن الطفل لا يدرك الأعداد في بداية حياته إلا كصفة ملابسة للاشياء ولكنه لا يقوى في سنواته الأولى على خلع الصفة الحسية منها كما أن الرجل البدائي هو الآخر لا يفصل بين العدد والمعدود فيستخدم لكل شيء كلمة خاصة به، فالعدد 2 يعبرعنه بجناحي الطائر والعدد 4 بأقدام الشاة وغيرها.
8) إن الاستقراء التاريخي يؤكد بأن تجربة مسح الأراضي كما مارسها قدماء المصريين الفراعنة قد ساعدت على نشوء فن أساسي من فنون الرياضيات وهي الهندسة، لذلك يقول بوانكاريه: (( لو لم يكن في الطبيعة أجسام صلبة لما وجد علم الهندسة ))، ويقول أحد العلماء الرياضيين: (( إن الطبيعة تعد أكثر منابع الاكتشافات الرياضية )).
نقد التجريبي:
1) لو كان كل ما نشاهده في العالم الحسي هو مصدر المفاهيم الرياضية فلماذا لا يوحي للبهيمة بذلك .
2) إن العقل الرياضي اليوم أصبح يبتدع من الرموز والمفاهيم الرياضية وأنه يفترض ما يشاء من مفاهيم ومنطلقات دون أن يتساءل عما يقابلها في الواقع الحسي.
3) إن المنطق يؤكد على أن بعض المفاهيم لا وجود لها في الواقع الحسي، فمفهوم اللانهاية لا يمكن أن يكون مكتسبا من التجربة الحسية لأنها متناهية.
4) إن بعض المفاهيم الرياضية كالكسور والدوال والعدد السالب وغيرها لا صلة لها بالواقع فكلها معان عقلية مجردة لا تدل على أنها نشأت من الملاحظة الحسية ولا أنها نسخة منه، إنها صدرت من العقل وحده.
حجج العقلاني: (أفلاطون، ديكارت، كانط)
1) يؤكد العقلانيون أنه بإمكان الإنسان تحقيق معرفة جوهرية عما يحيط به من أشياء بواسطة الاستدلال العقلي الخالص من غير اللجوء إلى مقدمات تجريبية ومن ذلك فقد حصر هؤلاء الرياضيات في أنها جملة من المفاهيم المجردة أنشأها الذهن واستنبطها من مبادئه دون ما حاجة للرجوع إلى الواقع، ففي الذهن توجد مبادئ قبلية وأن هذه المبادئ هي أدواته للحصول على المعرفة.
2) أعطى أفلاطون السبق للعقل الذي كان يحسبه يحيا في عالم المثل، وكان على علم بجميع الحقائق والعلوم ومنها المعارف الرياضية التي هي مفاهيم ثابتة لكنه عند مغادرته لهذا العالم نسبها وكان عليه أن يتذكرها وذلك لا يكون إلا بالعقل وحده حيث يقول : (( المعرفة تذكر والجهل نسيان )).
3) يؤكد الفيلسوف الفرنسي ديكارت بأن المفاهيم الرياضية من أعداد وأشكال هي أفكار فطرية تتصف بالبداهة واليقين الموجودين في العقل حيث يقول: (( العقل هو أحسن الأشياء توزعا بين الناس حيث يعتقد كل فرد أنه أوتي منه الكفاية ... يتساوى بين كل الناس بالفطرة )) لذلك فالناس يشتركون في العمليات العقلية ومنها العمليات الرياضية.
4) يؤكد الفيلسوف الألماني كانط على أن الزمان والمكان مفهومان رياضيان كما أنهما صورتان قبليتان فطريتان بدليل أن المكان التجريبي له سمك محدد بينما المستوي الرياضي لا متناهي.
5) يؤكد أفلاطون على أن المعطيات الأولية توجد في العقل وتكون واحدة بالذات ثابتة لذلك يقول: (( إن العلم قائم في النفس وبالفطرة والتعلم مجرد تذكر له ولا يمكن القول أنه اكتساب من الواقع المحسوس ))، لذلك فالمفاهيم الرياضية مجالها ذهني ولا تحقق إلا بواسطة العقل دون الحاجة إلى المحسوسات.
6) إن هناك اختلافا واضحا بين المفاهيم الرياضية وما يقابلها في الواقع المحسوس بدليل أن النقطة الهندسية مثلا ليس لها ابعاد من طول وارتفاع وعرض بينما النقطة الحسية لها أبعاد إذ تشغل حيزا محددا.
7) إننا لو تصفحنا المعرفة الرياضية لوجدناها تتصف بمميزات منها المطلقية والكلية، وهي مميزات خالصة موجودة في المعرفة الرياضية وتتعذر في غيرها من العلوم التي تنسب إلى التجربة.
8) إن المفاهيم الرياضية من خطوط مستقيمة وأشكال هندسية في حقيقتها معان مستقلة لا علاقة لها بما يوجد في الواقع، فالمثلث مثلا لا يمكن أن يكون من ضوء ولا من لحم ولا من ماء، بل هو مفهوم ثابت في العقل كما أن الواحد ليس سمكة ولا تفاحة، إن مفهوم عقلي مجرد تماما من أي اعتبار حسي.
نقد العقلاني:
1) إنه لو كانت المفاهيم الرياضية فطرية في عقل الإنسان فلماذا لم يأتي بها دفعة واحدة؟ مع العلم أن هذه المعاني تتطور بشكل دائم بدليل تطور الرياضيات عبر التاريخ، وهذا ما يعرف بظهور الهندسات اللاإقليدية التي تختلف عن الهندسة الكلاسيكية (الإقليدية) وهذا يدل على أن العقل لا يعتبر المصدر الوحيد لها.
2) إن بعض المفاهيم أخذت نشأتها بمناسبة مشاكل محسوسة، فمثلا تكعيب البراميل وألعاب الصدفة عملت على ظهور فن أساسي من فنون الرياضيات ألا وهو حساب الاحتمالات .
3) إن التاريخ يؤكد أن التفكير الرياضي كان مرتبطا بالواقع بدليل أن الحضارات الشرقية القديمة استخدمت طرقا رياضية في حساب مساحات الأراضي فكانت الرياضيات وليدة الملاحظة والتجربة.